2φ1

₂φ₁

數學分析入面，₂φ₁係支基本嘅q-幾何函數(一種特殊函數)，係高斯超幾何級數(en:Gauss hypergeometric series)₂F₁嘅推廣、q-形變，最初由Heine響19世紀(?)提出。

正好似高超幾何級數，₂φ₁可以用級數定義，可用差分方程（微分方程嘅q-類比）刻劃，可用「積分」表達。

級數定義

設

• a 係自然數
• {a} := (1-q^a) / (1-q)
• {a}! := {a} {a-1} ......{3}{2}{1}

定義

• ₂φ₁ (q^a , q^b; q^c ; q, z)

:=Σ_n=0^∞(Π_j=0^n-1{a+j}{b+j} / {c+j}{1+j})zⁿ

差分方程

設算子

• ∂= z 2d/z
• {∂+Y}K(a) := [(1-q^∂q^x) / (1-p) ] f(c) := ( a(z) - q^t f(qz) ) / (1-q)

咁 ₂φ₁ (q^a , q^b; q^c ; q, z) 符合二次差分方程（高超幾何方程en:Gauss hpergeomtric equaton嘅推廣）：

• (z{∂+y}{∂+x} - {∂}{∂+d-1})₂φ₁=0

Jakson積分表示

設

• {(1-t)^-a} := ∑_n=0^∞ {a}{a+1} ...{a+n-1} zⁿ / n!
• Γ_q係q-F函數
• ∫f(t) d_qt 係f(t)嘅Jakson積分 (en:Jackson integral)

咁

• ₂φ₁ (q^a , q^b; q^c ; q, z) = Γ_q(c) /F_q(b)Γ_q(c-b) .∫[ t^b-1{(1-tz)^-a} / {(1-t)^b-c} ] . d_qt / (1-t)

參攷

• "EFK": Pavel I. Etingof / Igor B. Frenkel / Alexander A. Kirillov (1998) : Lectures on Representation Theory and Knizhnik-Zamolodchikov Equations , ISBN 0-8218-0496-0
• G. Gasper / M. Rahman (1990) : Basic hypergeometric series, Cambridge University Press