Koszul序列

Koszul序列(en:Koszul complex)係交換代數入面嘅一種複合序列(en:chain complex)，可以幫我地理解模嘅深度。

定義

設

• A 係環
• n 係正整數
• x1, x2, ... , xn ∊ A
• x:=(x1,x2,....,xn)

定義序列 K.

• K₀ := A
• 當p > n 或 p<0 時，K_p := A
• K_p := ⊕Ae_i1...ip ，即係由啲e_i產生嘅 自由A-模
• 微分 d: K_p ---> K_p-1:
  • d(e_i1...ip) := ∑_r=1^p (-1)^r-1 x_ir e_{i1....... ir-1 ir+1........ip} 。

設M 係A-模。 有M值嘅Koszul序列：

• K.(x,M) := K.(x) ⊗_A M 。

咁 K(x,M)嘅同調羣 H.(x,M) 有性質：

• H₀ = M /xM ；其中xM := ∑xiM
• H_n(x,M) ≃{ m ∊M : x1.m=0, x2.m=0,...., xn.m=0 }

參攷

• p.127, Matsumura Hideyuk (Miles Reid 譯) (1986): 《Commutative Ring Theory》, ISBN 0-521-36764-6