User:Z423x5c6/橢圓曲線

各種唔同嘅橢圓曲線，每幅嘅展示區域係[-3,3]²（(a, b) = (0, 0)嘅話曲線有一個尖銳嘅奇點，並唔係一條橢圓曲線）

喺數學入面，橢圓曲線係一條光滑、投影、虧格係一嘅代數曲線，而且上面標記咗一點 O。一條橢圓曲線係喺個場K上面定義，由K²入面嘅一啲點組成。如果個場嘅特徵值唔係2或者3嘅話，可以透過線性嘅變數變換將條橢圓曲線轉換成呢個樣：

$y^{2}=x^{3}+ax+b$

當中a, b係K入面嘅係數，橢圓曲線係無奇點嘅，即係話佢唔可以有尖或者自相交（呢件事等價於$4a^{3}+27b^{2}\neq 0$）。雖然好多時畫出嚟嘅時候橢圓曲線都係喺仿射平面入面，但係理解佢嘅時候要諗佢喺投影平面入面，而O點係唯一一點喺無限遠嘅點。有好多書直接將上面條式攞嚟做橢圓曲線嘅定義，但其實如果係數場嘅特徵值係2或者3嘅話，兩種定義係唔等價嘅，因為喺呢啲情況有啲喺第一種定義下嘅橢圓曲線係轉化唔到做$y^{2}=x^{3}+ax+b$嘅形式。

橢圓曲線係一種阿貝爾簇，即係話，上面有一個用代數嚟定義嘅羣運算，呢個羣運算係交換嘅，而且O點係恆等元素。

如果$y^{2}=P(x)$，當中P係任何x嘅三次方多項式而且無重覆嘅根，噉個解集就係一條無奇點、虧格一嘅平面曲線，所以係橢圓曲線。如果P係四次方同埋無平方嘅話，呢條式嘅解集都係一條虧格一嘅平面曲線，但係，佢無一個自然嘅恆等元素人選。廣義嚟講，任何嵌入喺三維投影空間嘅虧格一代數曲線（例如兩條二次曲線嘅相交），而且揀咗一點做恆等元素嘅話，都可以叫做一條橢圓曲線。

用橢圓函數嘅理論可以展示到複數上嘅橢圓曲線對應住將環面嵌入去複投影平面入面，環面上面有一個自然嘅阿貝爾羣結構，而呢個對應係一個羣同構嚟。

橢圓曲線喺數論入面好重要，形成咗一個主要嘅研究領域。例如，Andrew Wile證明費馬大定理嗰陣就用咗橢圓曲線。橢圓曲線加密同整數分解都有用到橢圓曲線。

橢圓曲線並唔係一個橢圓：想知個名嘅由來嘅話，去睇下「橢圓積分」。拓樸學嚟講，複橢圓曲線係一個環面，而複橢圓係一個球面。

實數上嘅橢圓曲線

y² = x³ − x同y² = x³ − x + 1嘅圖

雖然要真正理解橢圓曲線嘅話要一啲代數幾何嘅知識，不過對實數嘅橢圓曲線嚟講，一啲基本嘅代數同幾何已經足夠幫我哋去理解佢。

喺呢段入面，橢圓曲線係指線性變數變換之後可以變成呢條式嘅平面曲線：

$y^{2}=x^{3}+ax+b$

呢個樣叫做Weierstrass等式或者Weierstrass正常形式。

橢圓曲線嘅定義亦都要求條曲線係無奇點嘅，幾何上嚟講即係話幅圖畫出嚟係無尖、自相交或者孤立點；代數上嚟睇無奇點若且唯若判別式

$\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})$

唔等於零（雖然以等唔等於零嚟講嗰個 -16 係唔關事嘅，但係擺佢喺到對日後對橢圓曲線更深入嘅研究嚟講係方便啲嘅）。

如果判別式係正數嘅話，對應嘅情況係$x^{3}+ax+b=0$有三個相異實解，所以條實數橢圓曲線有兩個連通部分；掉返轉，如果判別式係負數嘅話，對應$x^{3}+ax+b=0$得一個實解（另外兩個係共軛複解），噉條曲線就得一個連通部分。舉個例，右邊嗰兩幅圖，左邊嘅判別式係64，右邊就係-368。

羣運算

喺投影平面入面做計算嗰陣，對住何嘅光滑三次曲線都可以定義一個羣結構上去。喺Weierstrass標準形式嗰陣，呢條曲線有額外一粒無限遠點O，佢嘅同質座標係[0:1:0]，係個羣嘅恆等元素。

因為條曲線係對x-軸對稱嘅，所以對任何一點P，都可以定義-P做佢對稱嗰點，而-O就等於O自己。

如果P同Q係曲線上面嘅兩點，可以用以下嘅方法定義P+Q：首先，畫一條線穿過P同Q，呢條線一般嚟講會穿過曲線上面嘅第三點R，定義P+Q做-R，即係R嘅對稱點噉就得。

呢個定義對大部分嘅情況都可行，除咗少數牽涉無限遠點或者多重相交嘅情況。第一種就係P或者Q其中一點係無限遠點O，噉就定義P+O = P = O+P，即係話O係個羣嘅恆等元素。第二種係P同Q互為相反點，噉就定義P+Q=O。最後，如果P=Q嘅話，就定義唔到「穿過P同Q嗰一條線」，呢個情況就用條曲線喺嗰點嘅切線嚟代替。大部分時候呢條切線都會同條曲線相交喺第二點R，噉就定義P+P=-R，但係如果P係拐點（inflection point）嘅話，就定義R係P自己，噉P+P就係P嘅相反點，即係P+P=-P。

對於無寫做Weierstrass標準形式嘅橢圓曲線，依然可以喺上面定義一個羣運算，唯一嘅分別係Weierstrass標準形式嘅曲線有一個自然嘅O點嘅選擇（唯一一點無限遠點），如果條曲線唔係標準形式嘅話，就要喺9個拐點之中揀一點做O點，作為羣運算嘅恆等元素。其他部分嘅定義同頭先都類似：喺投影平面入面，一條直線同條橢圓曲線有三個交點（計埋多重相交嘅話），對任何點P，定義-P做穿過O同P嗰條直線同條橢圓曲線相交嘅第三點，然後對任意兩點P同Q，P+Q就定義做-R，當中R就係穿過P同Q嗰條直線同條曲線嘅第三個交點。

假設條曲線E係喺場K上面定義（即係話同嚟定義條曲線嗰啲多項式，啲係數全部都係場K入面），噉E嘅K-有理點就係喺E上面而且啲座標全部都係場K入面嘅點，包括埋無限遠點，所有K-有理點組成嘅集寫做E(K)，佢亦都係一個羣，因為用韋達公式可以證明如果P喺E(K)入面嘅話，-P都喺E(K)入面，另外如果兩點P同Q喺E(K)入面嘅話，P+Q都會喺E(K)入面。仲有，如果K係L嘅子場嘅話，噉E(K)就會係E(L)嘅子羣。

以上嘅羣運算嘅定義係比較幾何嘅，即係攞啲直線去同條橢圓曲線相交噉樣定義，但係其實都可以用代數嘅方法嚟定義。畀一條場K（假設特徵值唔係2或者3）上面嘅曲線$y^{2}=x^{3}+ax+b$，同埋曲線上面嘅兩點$P=(x_{P},y_{P})$、$Q=(x_{Q},y_{Q})$，暫時假設 $x_{P}\neq x_{Q}$。設$y=sx+d$係穿過P同Q嘅直線，噉佢嘅斜率就係：

$s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}$

因為K係一個場，s係定義良好嘅。喺相交點P、Q、R，直線等式同曲線公式嘅y值係一樣嘅：

$(sx+d)^{2}=x^{3}+ax+b$

可以化簡成$0=x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+ax+b-d^{2}$。由於我哋已經知道其實嗰三個x解就係對應該P、Q、R三點，所以

$(x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+x^{2}(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})+x(x_{P}x_{Q}+x_{P}x_{R}+x_{Q}x_{R})-x_{P}x_{Q}x_{R}$

望進$x^{2}$嘅係數就可以搵到$x_{R}$，而$y_{R}$就可以用直線等式搵埋出嚟。所以用呢個方法就可以搵到$R=(x_{R},y_{R})=-(P+Q)$，其中

${\begin{aligned}x_{R}&=s^{2}-x_{P}-x_{Q}\\y_{R}&=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})\end{aligned}}$

如果$x_{P}=x_{Q}$嘅話，有兩個可能性：其一係$y_{P}=-y_{Q}$，包括$y_{P}=y_{Q}=0$嘅情況，噉就定義P+Q=0；即係話每一點嘅逆就係佢對於x-軸嘅鏡像點。如果$y_{P}=y_{Q}\neq 0$嘅話，噉即係話P=Q，同埋$R=(x_{R},y_{R})=-(P+P)=-(Q+Q)=-2P=-2Q$，佢嘅座標就係：

${\begin{aligned}s&={\frac {3{x_{P}}^{2}+a}{2y_{P}}}\\x_{R}&=s^{2}-2x_{P}\\y_{R}&=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})\end{aligned}}$

複數上面嘅橢圓曲線

複數上嘅橢圓曲線係由複平面對格仔Λ攞商生成，其中個Λ係由兩個基礎週期ω₁ 同 ω₂ 生成嘅，啲4-扭點都顯示咗出嚟，對應住裝住Λ嘅1/4 Λ格仔。

將橢圓曲線諗做嵌入喺複投影平面入面嘅環面其實係利用咗Weierstrass橢圓函數嘅一啲特別嘅性質。呢啲函數同埋佢嘅導數符合

$\wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}$

其中g₂同g₃係常數，$\wp (z)$係Weierstrass橢圓函數，$\wp '(z)$係佢嘅導數。呢條式正正就係橢圓曲線個樣嚟。Weierstrass函數係雙重週期性嘅，事實上，佢係對於一個格仔Λ有週期性；所以，Weierstrass函數喺環面$T=\mathbb {C} /\Lambda$上面係一個定義良好嘅函數。呢個環面可以透過呢條式

$z\mapsto [1:\wp (z):\wp '(z)/2]$

嵌入去複投影平面入面。呢個映射係一個羣同構嚟，其中環面上面係用自然羣結構，三次曲線上面就係用上面直線相交定義嘅羣結構。佢亦都係黎曼曲面意義下嘅同構，所以拓樸學嚟講，橢圓曲線就係一個環面。如果一個Λ格仔被人乘咗個非零複數c變成cΛ格仔嘅話，對應嘅橢圓曲線係同構嘅，而橢圓曲線嘅同構類可以用j-不變量嚟決定。

橢圓曲線嘅同構類仲有另一個簡單啲嘅理解，上面寫嘅常數g₂同g₃，叫做模不變量，係由格仔Λ決定嘅，亦即係由環面嘅結構決定嘅。不過，所有嘅實多項式都可以喺複數入面完全分解做線性因子（因為複數係代數封閉嘅），所以橢圓曲線可以寫做

$y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$

可以計到

$g_{2}={\frac {\sqrt[{3}]{4}}{3}}(\lambda ^{2}-\lambda +1)$

同埋

$g_{3}={\frac {1}{27}}(\lambda +1)(2\lambda ^{2}-5\lambda +2)$

所以模判別式係

$\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}$

而呢個λ有時會叫做模λ函數。

值得留意嘅係，大一統定理（uniformization theorem）指出，所有緊緻、虧格一嘅黎曼曲面都等價於一個環面。

用環面嘅角度嚟睇橢圓曲線嘅話，扭點（torsion point）就好容易理解啦：如果Λ格仔係由基礎週期ω₁同ω₂生成嘅話，噉啲n-扭點正正就係

${\frac {a}{n}}\omega _{1}+{\frac {b}{n}}\omega _{2}$

噉嘅樣嘅點（嘅等價類），當中a同b係0至n-1嘅整數。

如果$E:y^{2}=4(x-e_{1})(x-e_{2})(x-e_{3})$係複數上嘅嘅一條橢圓曲線，並設$a_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{3}}}$、$b_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{2}}}$、$c_{0}={\sqrt {e_{2}-e_{3}}}$，噉$E$嘅其中一對基礎週期就可以用算術幾何平均好快噉計出嚟：$\omega _{1}=\pi /\operatorname {M} (a_{0},b_{0})$、$\omega _{2}=\pi /\operatorname {M} (c_{0},ib_{0})$，其中$\operatorname {M} (w,z)$係代表$w$同$z$嘅算術幾何平均。每做一步平均嗰陣，都要幫$z_{n}$揀一次正負，跟個規則就係要揀到$|w_{n}-z_{n}|\leq |w_{n}+z_{n}|$，如果兩個大細一樣嘅話，就要揀到$\Im (z_{n}/w_{n})>0$。

喺複數上面，每條橢圓曲線都有九個拐點（inflection point）。每一條穿過兩個拐點嘅直線都會穿過第三個拐點，呢9點同12條線形成咗Hesse格局。

有理數上面嘅橢圓曲線

一條有理數上面嘅曲線E亦都可以喺實數上定義，所以都可以用上面嘅切線-割線方法去定義點樣將兩點相加。計P+Q嗰陣，由於穿過P同Q嘅直線方程式嘅係數全部都係有理數，曲線E嘅係數又係有理數，所以P+Q得出嚟嗰一點都係有理數點，即係話，E上面嘅有理數點係E上面嘅實數點嘅子羣，另外，因為實數點嘅羣係一個阿貝爾羣，所以有理數點嘅羣都係一個阿貝爾羣。

有理數點羣嘅結構

有關橢圓曲線上嘅有理數點，最重要嘅定理就係話所有點都可以用一咋固定咗、有限數量嘅點再用有限次嘅切線-割線方法去整出嚟。準確啲嚟講，Mordell-Weil定理講，$E(\mathbb {Q} )$係一個有限生成嘅阿貝爾羣。根據有限生成阿貝爾羣基本定理，佢係一咋$\mathbb {Z}$同一咋有限循環羣嘅直和。

定理嘅證明由兩部份組成：第一步係證明對任何正整數m>1，$E(\mathbb {Q} )/mE(\mathbb {Q} )$呢個商羣都係有限嘅（弱Mordell-Weil定理）。第二步係要喺有理數點$E(\mathbb {Q} )$上面定義一個高度函數h，其中$h(P_{0})=0$，而其他嘅點，如果P嘅x座標係p/q（最簡分數），就定義$h(P)=\log \max(|p|,|q|)$。呢個高度函數h有兩個性質，其一係對$h(mP)$嘅大細大約同$m^{2}$成正比，其二係固定任何常數，E上面只有有限嘅有理數點個高度係細過呢個常數。

有咗呢啲準備之後，個證明就係類似輾轉相除法嘅無窮遞降噉：首先揀定一個閥值K同埋$E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )$嘅固定代表。對任何$P\in E(\mathbb {Q} )$，可以將P寫做$2P_{1}+Q_{1}$，其中$Q_{1}$係$E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )$嘅一個代表，根據高度函數嘅質，$P_{1}$嘅高度大約係P嘅${\frac {1}{4}}$；重覆對$P_{1}$做同樣嘅步驟，即係話$P_{1}=2P_{2}+Q_{2}$，$P_{2}=2P_{3}+Q_{3}$，如此類推。每步$P_{i}$嘅高度都係上一步嘅大約${\frac {1}{4}}$，所以個高度遲早會低過個閥值K。根據高度函數嘅第二個性質，只有有限個點嘅高度係低過K嘅，而根據弱Mordell-Weil定理，$E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )$係有限嘅，噉就證明咗$E(\mathbb {Q} )$上面每粒點都可以寫做一個固定嘅集嘅整數線性組合啦。

暫時嚟講，呢個定理只係證明到每條橢圓曲線嘅有理數點羣係有限生成嘅，但係唔會幫助到我哋真係去搵個有限生成集出嚟，因為暫時嚟講無一個好嘅辦法去搵$E(\mathbb {Q} )/mE(\mathbb {Q} )$嘅代表出嚟。

$E(\mathbb {Q} )$嘅階（rank），即係$E(\mathbb {Q} )$入面有幾多個$\mathbb {Z}$嘅因子，又或者另一個講法，獨立嘅無限階元素嘅數量，有時亦都會簡單叫做E嘅階。千禧年大獎難題其中之一嘅Birch同Swinnerton-Dyer猜想就係同計算階有關嘅。雖然已知嘅橢圓曲線嘅階都係好細，但係佢地猜想其實個階係幾大都有可能。現時確切知道階最大嘅橢圓曲線係

y² + xy + y = x³ − x² − 244537673336319601463803487168961769270757573821859853707x + 961710182053183034546222979258806817743270682028964434238957830989898438151121499931

佢嘅階係20，係喺2020年由Noam Elkies同Zev Klagsbrun搵出嚟。喺1994年嗰陣已經搵到好多曲線，佢地嘅階數係肯定超過20嘅，由「起碼21」到「起碼28」都有，但係呢啲曲線嘅確切階數都係未知，甚至佢哋之中邊個大啲都唔知，亦即係話，上邊嗰條只係已知確切階數之中嘅冠軍，「真正嘅冠軍」係邊個都唔知。

而有關$E(\mathbb {Q} )$嘅扭子羣（torsion subgroup），有以下嘅定理：根據Barry Mazur證明嘅Mazur扭定理，$E(\mathbb {Q} )$嘅扭子羣只可能係以下15個羣其中一個：$\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$，$N=1,2,\ldots ,10$或者$12$，或者$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2N\mathbb {Z}$，$N=1,2,3,4$，每一個情況都有知道嘅實際例子，而事實上，有同一個扭子羣嘅有理數橢圓曲線全部都喺同一個單參數族上面。

Birch同Swinnerton-Dyer猜想

Brich同Swinnerton-Dyer猜想係克雷數學研究所七條千禧年難題之一，呢個猜想同時牽涉到由橢圓曲線整出嚟嘅分析上同算術上嘅物體。

喺分析嗰邊，對一條有理橢圓曲線可以整一個Hasse-Weil ζ函數L出嚟，呢個函數可以睇做黎曼ζ函數同Dirichlet L-函數嘅變體，佢係用歐拉積嚟定義嘅，對每個質數p都有一個項，最後乘埋一齊。

對一條有理橢圓曲線E，寫佢做最細等式

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

當中各個係數$a_{i}$都係整數，對質數p攞商餘就會得到一條有限場$F_{p}$上面嘅橢圓曲線（除咗對有限個質數p，攞商餘嗰陣會搞到有奇點，變咗唔係橢圓曲線，呢種情況叫做「差商餘」，bad reduction）。

有限場$F_{p}$上嘅橢圓曲線嘅ζ函數可以理解做一個生成函數，包含著$F_{p}$嘅擴展場$F_{p^{n}}$入面有幾多粒E上面嘅點嘅資訊，佢嘅定義係

$Z(E(\mathbf {F} _{p}))=\exp \left(\sum \#\left[E({\mathbf {F} }_{p^{n}})\right]{\frac {T^{n}}{n}}\right)$

指數函數入面嗰個和類似對數函數嘅Taylor展開，而事實上，ζ函數係一個有理函數：

$Z(E(\mathbf {F} _{p}))={\frac {1-a_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}},$

而個「Frobenius嘅跡」$a_{p}$嘅定義就係E上面嘅$F_{p}$點同「期望值」p+1嘅差距：

$a_{p}=p+1-\#E(\mathbb {F} _{p}).$

呢個嘢有兩點要留意，其一係$a_{p}$同E嘅等式入面嘅$a_{i}$係無關係嘅，純粹係咁啱撞咗符號；其二係對任何特徵數係p嘅有限場都可以定義同樣嘅數值同埋函數，只要將每一個p都換做$q=p^{n}$就得。

E係$\mathbb {Q}$上嘅Hasse-Weil ζ函數就係將所有質數p嘅呢個資訊收集埋一齊，佢嘅定義係

$L(E(\mathbf {Q} ),s)=\prod _{p}\left(1-a_{p}p^{-s}+\varepsilon (p)p^{1-2s}\right)^{-1}$

其中如果E喺p係「好商餘」嘅話$\varepsilon (p)=1$，壞就係0，嗰陣$a_{p}$要用另一個方法定義，可以睇Silverman (1986)。

呢個乘積只會喺Re(s) > 3/2嗰陣收歛，Hasse猜想就係覺得呢個L-函數可以解析延拓去成個複平面並且符合一條函數方程，條方程講咗L(E, s)同L(E, 2-s)嘅關係。喺1999年呢個猜想被證明咗係Shimura-Taniyama-Weil猜想嘅證明嘅一個結果，而呢個猜想係話每條Q上面嘅橢圓曲線都係一條模曲線，噉就代表佢嘅L-函數係一個模形式嘅L-函數，而模形式嘅L-函數嘅解析延拓係已知嘅。所以喺解析延拓之後，L(E, s)就係喺成個複平面上面定義良好嘅函數。

Brich同Swinnerton-Dyer猜想就係將條曲線嘅算術性質同佢嘅L-函數喺s=1嗰點嘅表現𠹌埋一齊，佢提出L-函數喺s=1嗰點嘅消失階（vanishing order）等於E嘅階，同埋L(E, s)嘅Laurent級數喺s=1嗰點嘅領項（leading term）同橢圓曲線嘅幾個量有關係。

同黎曼猜想好似，如果BSD猜想係啱嘅話，會有好多數論上嘅結果，其中包括：

• 一個全等數（congruent number）嘅定義係佢可以寫做一個邊長係有理數嘅直角三角形嘅面積，而一個已知嘅結果係，n係一個全等數若且唯若橢圓曲線$y^{2}=x^{3}-n^{2}x$有一個無限階嘅有理點；如果BSD係啱嘅話，噉就等價於佢嘅L-函數喺s=1嗰點係0。Tunnell證明咗一個相關嘅定理：如果BSD係啱嘅話，n係一個全等數若且唯若符合$2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n$嘅點嘅數量係符合$2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n$嘅兩倍。呢個定理嘅有用之處在於呢個條件好容易就檢查到。
• 喺另一個方向，用一啲分析上嘅方法可以估算到某啲L-函數喺關鍵帶（critical strip）中間嘅零點嘅階，假設BSD嘅話，呢啲估算對應住一啲橢圓曲線族嘅階嘅資訊。例如，假設廣義黎曼猜想同BSD係啱嘅話，$y^{2}=x^{3}+ax+b$$y^{2}=x^{3}+ax+b$$y^{2}=x^{3}+ax+b$$y^{2}=x^{3}+ax+b$呢一族嘅橢圓曲線嘅平均階細過2。

模定理同埋喺費馬大定理上面嘅應用

模定理（modularity theorem），之前叫做Taniyama–Shimura–Weil猜想，講話每一條$\mathbb {Q}$上面嘅橢圓曲線E都係模曲線，即係話，

$L(E(\mathbf {Q} ),s)=\sum _{n>0}a(n)n^{-s},$

噉

$\sum a(n)q^{n},\qquad q=e^{2\pi iz}$

就定義咗一個重量2等級N嘅拋物模新形式。

拎

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