三杯難題

無解嘅版本，呢度A、C兩個杯向上，B一個杯向下

解到嘅版本，呢度A、C兩個杯向下，B一個杯向上

三杯難題（英文：three cups problem），又叫三杯挑戰（three cups challenge），係一個簡單嘅數學謎題，係解唔到嘅。

個謎題係咁嘅，一開頭有三隻杯，一隻向下兩隻向上，目標係喺 6 步之內將三隻杯變成全部向上，不過規則係每 1 步要同時反轉兩隻杯，唔可以多唔可以少，係啱啱好兩隻。

另一個（好簡單）可以解到嘅版本係咁嘅：開頭嘅設定係兩隻向下一隻向上，答案好簡單，就係 1 步將嗰兩隻向下嘅杯反返上嚟就搞掂。作為一個魔術，表演者可以自己做一次解得到嗰個版本，然後叫觀眾做解唔到嗰個版本。

證明謎題無解

要證明呢個三杯難題係無解，只需要用到好簡單嘅數學：奇偶性，即係話一個數究竟係單數定係雙數。我哋數吓三個杯之中一共有幾多個杯係向下嘅，記呢個數做$W$。謎題嘅目標就係將$W$由 1 轉做 0。但係，每次要同時反轉兩個杯嘅話，$W$嘅改變只可以係$+2$（兩個上變下）、$\pm 0$（一上一下變一下一上）、$-2$（兩個下變上），即係每次嘅改變都係雙數，但係要由 1 變 0 係要做$-1$，係單數嚟，所以係無可能嘅。

另外一個睇法（其實都係睇奇偶性）係，原本$W$係1，即係三個杯係兩上一下，呢個時候可以反轉兩個向上嘅杯，變成三個向下，即係$W=3$；又或者反轉一上一下嘅杯，總數無變都係兩上一下，$W=1$。如果依家$W$係3嘅話，同樣道理反完一次之後$W$一係唔變，一係變返做$1$。總結嚟講即係$W$只會係 1 或者 3 ，係唔會變 0 嘅。

以上嘅推論可以推廣，無論總共有幾多隻杯，如果一開頭向下嘅杯嘅數量係單數嘅話，就無可能反到全部向上；相反，如果開頭係雙數嘅話就得。

睇埋

• 倒水謎題：一個唔關事嘅謎題，不過題目通常都有三隻杯，將啲水倒嚟倒去。
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參考資料

• "Can you solve the Three Cups Problem?". ABC Education. 喺2018-10-26搵到.