二進制

明同暗為二進制表示方式，數字則常用一同〇

二進制（英文：binary system）係一種進位制，逢2進位，只用0同1兩個數字記數，係數學同電腦科學嘅基礎。喺二進制入面，數字用0同1嘅序列表示，例如十進制嘅10喺二進制係1010。二進制因為簡單同穩定，廣泛應用於電腦、數碼電路同資訊理論，係現代科技嘅核心。喺香港，二進制係中學數學同電腦科課程嘅重要內容，例如喺香港中學文憑考試（DSE）資訊科技科有教。

定義

二進制係一種基數為2嘅進位制，每個數字位（bit）只可以係0或1。喺二進制入面，數字嘅值由每位嘅權重（2嘅冪）決定。例如，二進制數1011表示：

$1\times 2^{3}+0\times 2^{2}+1\times 2^{1}+1\times 2^{0}=8+0+2+1=11$（十進制）。

同十進制（基數10）相比，二進制只需要兩個符號，但表示同樣嘅數字時通常需要更多位數。平時十進制嘅有限小數（例如0.1）用二進制小數表示，可能出現無限循環，例如十進制0.2喺二進制係0.001100110...。

歷史

二進制嘅概念可以追溯到古代，例如中國《易經》嘅陰陽系統用二元表示。 喺17世紀，德國數學家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）正式提出二進制嘅數學基礎，認為佢簡單同哲學意義深遠。萊布尼茨喺1703年發表嘅論文中，將二進制同《易經》連繫起來。

喺20世紀，隨住電腦嘅發展，二進制成為數碼技術嘅核心。布林代數（Boolean Algebra）同數碼電路用0同1表示邏輯值（真/假），都同二進制有關。

運算

二進制嘅運算同十進制類似，但因為只有0同1，規則更簡單。以下係二進制嘅基本運算：

四則運算

二進制嘅四則運算（加、減、乘、除）同十進制相似，但只需要考慮0同1嘅組合，並涉及進位或退位：

• 加法：

 $0+0=0,\quad 0+1=1,\quad 1+0=1,\quad 1+1=10$（進位到下一位）。
 例子：1012 + 112 = 10002（十進制5 + 3 = 8）。

• 減法：

 $0-0=0,\quad 1-0=1,\quad 1-1=0,\quad 10-1=1$（可能需要借位）。
 例子：1002 - 12 = 112（十進制4 - 1 = 3）。

• 乘法：

 $0\times 0=0,\quad 0\times 1=0,\quad 1\times 0=0,\quad 1\times 1=1$。
 例子：$11_{2}\times 10_{2}=110_{2}$（十進制$3\times 2=6$）。

• 除法：

 $0\div 1=0,\quad 1\div 1=1$（無得除以0）。
 例子：$100_{2}\div 10_{2}=10_{2}$（十進制$4\div 2=2$）。

同十進制一樣，除法可能產生無限循環小數，例如十進制0.2喺二進制係0.001100110...。

拈加法

拈加法（英文：nim addition/bitwise XOR）係二進制嘅一種特殊運算，類似加法但唔進位，喺布林代數同博弈論有應用。規則如下： $0\oplus 0=0,\quad 0\oplus 1=1,\quad 1\oplus 0=1,\quad 1\oplus 1=0$。 例子：$101\oplus 110=011$（十進制$5\oplus 6=3$）。

應用

二進制喺多個領域有廣泛應用：

• 電腦科學：所有數碼數據（文字、圖像、音頻）都用二進制編碼，例如ASCII或UTF-8。電腦嘅CPU同記憶體用二進制處理指令同數據。
• 數碼電路：二進制係邏輯閘（如AND、OR、XOR）嘅基礎，用於設計處理器同記憶體電路。
• 教育：喺香港中學DSE課程，二進制係資訊科技同數學科嘅必修內容，學生會學點樣將十進制轉換成二進制同進行簡單運算。

文化影響

二進制唔單止係技術工具，仲影響文化同哲學。喺香港，0同1嘅二進制符號經常出現喺科幻電影、遊戲同程式設計文化，例如《黑客帝國》嘅數字流視覺效果。二進制嘅簡單性同靈活性，啟發咗關於資訊、秩序同混亂嘅哲學討論。

相關概念

• 進位制
  • 十進制
  • 十六進制
• 布林代數
• 數碼電路
• 資訊理論

外部連結

• "Binary Number System". MathWorld (英文). 喺2025-08-14搵到.
• "Binary Arithmetic". ProofWiki (英文). 喺2025-08-14搵到.