同胚羣

喺拓樸學入面，一個拓樸空間嘅同胚羣係由嗰個空間打返去自己嘅同胚所組成嘅羣，個羣嘅乘法係同胚嘅複合。同胚羣對研究拓樸學好重要，係自同構羣嘅一個例子。同胚羣係一個拓樸不變量，意思係如果兩個拓樸空間係同胚嘅話，佢哋嘅同胚羣係羣同構嘅。 $X$ 嘅同胚羣用符號嚟寫可以寫做 $Homeo(X)$ 。

性質同例子

同胚羣可以自然噉作用喺底下個拓樸空間到。設 $X$ 係一個拓樸空間， $G$ 係佢嘅同胚羣，噉個作用就係噉樣定義：

{\begin{aligned}G\times X&\longrightarrow X\\(\varphi ,x)&\longmapsto \varphi (x)\end{aligned}}

呢個係一個羣作用，因為對所有 $\varphi ,\psi \in G$ ，

\varphi \cdot (\psi \cdot x)=\varphi (\psi (x))=(\varphi \circ \psi )(x)

當中粒點 $\cdot$ 代表個羣作用，而且好容易就可以檢查到， $G$ 入面嘅單位元素（即係 $X$ 嘅恆等函數）將每粒點都打返去佢自己到。如果呢個作用係遞移嘅話，就會話個拓樸空間係齊性嘅。

同胚羣上嘅拓撲結構

同拓撲空間之間嘅其他映射集一樣，同胚羣可以被賦予一個拓撲結構，例如緊緻開拓撲。如果底下個空間係正則、局部緊緻嘅話，羣乘法就會係連續。

如果個空間係緊緻同埋Hausdorff嘅話，噉個逆作為 $Homeo(X)\to Homeo(X)$ 嘅映射係連續嘅，噉嘅話 $Homeo(X)$ 就係一個拓樸羣^[1]。如果 $X$ 係Hausdorff、局部緊緻同局部連通嘅話 $Homeo(X)$ 都會係一個拓樸羣^[2] 。但係，存在一啲局部緊緻、可分嘅度量空間 $X$ ，佢個逆映射唔連續，導致佢個 $Homeo(X)$ 唔係一個拓樸羣^[2]。