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深入講羣,請睇羣論

(Group)係數學上一種代數結構。一個羣係一個(set),喺上面定義一種運算(operation)(一般叫佢做「乘法」,不過唔一定係、多數時候都唔係指四則運算嘅「乘法」),要令到集裏面任意兩個元素(element)進行運算,結果仍然係呢個集嘅元素。羣必須符合以下性質,即係結合性質(associative),恆等性質(identity)同可逆性質(invertibility)。根據香港中文大學數學系助理教授陳國威所講,所有嘅物理都係群作用Group Action)。[1]

定義[編輯]

如果有一個叫G嘅Set,我想佢係喺一個,就需要有一個二元運算(Binary Operation)「•」,(多數叫佢做,因為係用一點嚟表示)。而Set入面嘅嘢同個運算,需要符合以下幾個條件:

  • 綁住/包住(Closure)。意思係,喺G入面求其搵兩粒嘢出嚟「乘」埋佢,「乘」完出嚟嘅嘢要係喺返入面。
  • 結合性質(Associative):。意思係,無論有幾多粒嘢,點樣乘都無問題,做左前面先又得,做左後面先亦得。
  • 恆等性質(Identity)。意思係,嗰堆嘢入面一定要有一粒嘢叫或者叫又或者叫identity,佢乘咩嘢都無變嘅。
  • 可逆性質(Invertibility)。意思係,嗰堆嘢入面,每一粒嘢,都會有對應嘅另一粒嘢,佢哋乘埋會變返做

咁如果一個set,再畀多個運算佢,又咁啱符合嗮以上條件,咁個set加埋呢個運算呢就係一個group,寫成

以上並唔要求,即係前後調位乘埋唔一定一樣。但如果呢條式都啱嘅話,咁呢個羣就叫做阿標羣(Abelian group)

例子[編輯]

整數[編輯]

整數係第一個識得嘅羣。整數嘅集,係寫成,佢入面裝住所有嘅整數,即係。因為羣需要一個運算,所以就畀咗個加法佢。咁就需要證明係一個羣。

  1. Closure:)假設入面其中兩個元素,叫做a同b。由於得出嘅係整數,而係包齊曬所有整數。所以
  2. Associative:)假設入面揀任何三個元素,叫做a、b同埋c。做加法嗰時,做完先再加c,同做完之後再加a,兩個結果係一樣嘅。所以
  3. Identity:() 是旦搵一個元素,佢搞完(即係加)其他元素,佢都係無變嘅,咁呢個「其他元素」就係0。因為0加任何嘢,都等於無加過嘢。
  4. Invertibility:() 每一粒喺入面嘅元素,都係有另一半,而佢同佢另一半加埋之後,會變做0。一個元素a,佢嘅另一半就係(-a),佢哋加埋就會變做0。

幾何變換[編輯]

譬如話,喺上有個圖形,對呢個圖形所進行嘅平移、旋轉等變換構成一個群。

注意,呢個群嘅元素唔係數,而係變換(即係映射);運算唔係加減法,而係映射嘅複合。群只需定義一種運算,而且唔要求交換律成立,所以佢嘅應用廣泛過其他代數結構(例如要定義加法、乘法兩種運算)。不過亦有交換群

常見例子[編輯]

運算 恆等元(Identity) 樣(Form) 逆元(Inverse) 係唔係阿標
矩陣乘法

唔係
嘅解
矩陣乘法 唔係
唔係

性質[編輯]

由定義入面可以睇到群嘅第一個性質就係:「如果一個群符合要求,咁樣呢個群就係阿標群。」,但係群都有其他性質:

  • 用域(Field)入面非零嘅噖,加一般既乘法整成嘅群,就會係一個一般乘法嘅阿標群。
  • 用環(Ring)入面嘅野,加一般加法整成嘅群,就會係一個一般加法嘅阿標群。

其他有關群入面嘅嘢嘅性質。以下都假定係個群同埋都係入面嘅嘢。

  1. 如果入面成立,咁。對應既係,如果,咁
  2. 每一個入面,只係得一粒
  3. 每一粒,佢嘅都係得一粒。
  4. 對應任何整數都會成立。

證明[編輯]






有限群同基數[編輯]

基數(Order)係群嘅一個概念,佢同集嘅基數(Carnality)嘅意思一樣,都係指一個群入面嘅嘢嘅數量。不過群嘅基數亦可以應用喺群入面嘅嘢度。

定義(有限群)[編輯]

假設係一個群。如果有限群(Finite Group or Finite Order),即係話佢入面只係得有限嘅元素(嘢)。

入面嘅嘢嘅數量會叫做嘅基數(Order of G),一般會用嚟表示。

如果入面嘅嘢係無限咁多,會將叫做無限群(Infinite Order)

定理[編輯]

如果有兩個群。將定義為一個係入面嘅運算,而呢個運算係咁嘅

咁樣就係一個群。

如果都係阿標群,咁都係阿標群。

如果都係有限群,咁都係,而且

定義(元素基數)[編輯]

係一個群,入面嘅一粒嘢。

如果有基數(Finite Order),即係話,對應一啲嘅正整數

一般,會將最細嘅正整數,符合,叫做嘅基數(Order of the element )。

一般會寫做,嘅基數係

如果冇基數(Infinite Order),即係話,對應所有嘅正整數

性質[編輯]

以下假設咗係一個群,而入面嘅嘢。

  1. 如果係冇基數,咁每一粒都係唔同嘅(唔相等嘅),係正數。
  2. 如果係有基數,而佢嘅基數係,咁同埋
  3. 如果係有基數,而基數係,咁嘅基數係
  4. 如果,咁就有基數。

證明




應用[編輯]

利用上面嘅概念同性質,可以證明出更多嘅定理。以下都假設係一個群,都係入面嘅剐。

  1. 如果,咁
  2. 如果,咁
  3. 如果係阿標群,咁係一定成立。「
  4. 如果嘅基數係,咁就係一個阿標群。「即係話,
  5. 只會得一粒係符合
  6. 如果係雙數,咁入面就會有粒嘢嘅基數係

睇埋[編輯]

參考[編輯]

  1. [1] MATH3030 - Algebra I.