羣論
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群
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羣論係一門數學，係抽象數學嘅一門，主要研究一隻叫羣嘅代數結構。數論（number theory）、代數同埋幾何提供咗好多羣嘅例子。羣係更複雜嘅數學結構嘅基礎，例子有環、場、向量空間等等。好多數學嘅範疇入面都有羣嘅出現，羣論入面採用嘅方法亦都影響到其他代數嘅研究。線性代數羣、李羣、拓樸羣、幾何羣論等等嘅理論經過咗好長時間嘅演變，已經成爲咗一個獨立嘅研究領域。
羣論同埋對應嘅表示論喺物理同化學都有好多用法，尤其係對稱嘅場合，例如晶體同埋分子嘅對稱結構，都可以用對稱羣嚟分析。公開密鑰加密亦都用到羣論。
羣論嘅歷史由十九世紀開始，其中一個最大嘅成就喺二十世紀完成，結合咗無數數學家嘅努力，用咗過萬頁嘅論文，大部分係喺 1960 至 1980 之間發表，就係完成咗有限簡單羣嘅分類。
歷史
[編輯]群組理論有三個主要歷史來源：數論、代數方程理論同幾何學。數論呢方面係由歐拉開創，之後高斯喺模算術同二次域有關嘅加法同乘法群度進一步發展出嚟。關於排列群嘅早期研究成果，係由拉格朗日、魯芬尼同阿貝爾喺尋找高次多項式方程一般解法嘅過程發現嘅。伽羅瓦創造咗「群」呢個詞，仲建立咗一個而家叫做伽羅瓦理論嘅關係，將初期嘅群理論同域理論連繫埋一齊。
喺幾何學度，群理論喺射影幾何同後期嘅非歐幾何開始變得重要。克萊因提出嘅埃爾朗根綱領，指出群理論係幾何學嘅核心結構。
1830年代，伽羅瓦係第一個用群理論去判斷多項式方程是否可解嘅人。之後，凱萊同柯西將呢個研究推進一步，發展咗排列群理論。第二個歷史來源就係喺幾何學入面。為咗用群理論去理解唔同種類嘅幾何，例如歐幾里得幾何、雙曲幾何或者射影幾何，克萊因提出咗埃爾朗根綱領。1884年，李喺處理分析學問題時開始用到群（而家稱為李群）。
第三方面，群理論最初喺代數數論入面係隱含使用，後來變成咗明確嘅應用。由於呢啲早期來源嘅範疇唔同，出現咗唔同嘅群概念。
群理論喺1880年左右開始整合統一。自此之後，群理論嘅影響力越嚟越大，令抽象代數喺20世紀初誕生，仲衍生出表示論同好多其他有影響力嘅範疇。有限單群分類係20世紀中葉嘅一個龐大嘅研究成果，成功對所有有限集合嘅單群作出分類。
