數學基礎

  提示：呢篇文講嘅唔係基礎數學。

數學基礎（英文：Foundations of mathematics）係指研究數學嘅哲學或者邏輯基礎，例子可以睇吓集合論。

數學上，數學基礎一詞有時候用於數學嘅特定領域，例如數理邏輯，公理化集合論，證明論，模型論，同遞歸論（可計算性理論）。但係尋求數學嘅基礎都係數學哲學嘅中心問題：喺乜嘢終極基礎上命題可以稱為『真』?

目前佔統治地位嘅數學典範思想係基於公理化集合論同形式邏輯嘅。實際上，幾乎所有而家嘅數學定理都可以表述為集合論下嘅定理。喺呢個觀點下，所謂數學命題嘅真實性，不過就係該命題可以從集合論公理使用形式邏輯推導出來。

呢個形式化嘅方法唔可以解釋一啲問題：為乜嘢我哋應沿用現行嘅公理而唔係其他，為乜嘢我哋應沿用現行嘅邏輯規則而唔係其他，為乜嘢「真」數學命題（例如，算術領域嘅皮亞諾公理）喺物理世界中似乎係真嘅。這被尤金·維格納喺1960年叫做『數學喺自然科學中無理由嘅有效性』（The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences）。

喺數學實在論（有時都叫柏拉圖主義）中，獨立於人類嘅數學對象嘅世界嘅存在被作為一個基本假設；呢啲對象嘅真實性由人類「發現」。喺呢種觀點下，自然定律同數學定律有類似嘅地位，因此"有效性"唔再"無理由"。唔係我哋嘅公理，而係數學對象嘅真實世界構成咗數學基礎。但，顯然嘅問題在於，我哋點樣接觸呢個世界？

一啲數學哲學嘅現代理論唔承認呢種數學基礎存在。有啲理論傾向於專注數學實踐，並試圖將數學家嘅實際工作視為一種社會群體來作描述同分析。都有理論試圖創造一個數學認知科學，將數學喺"現實世界"中嘅可靠性歸結為人類嘅認知。呢啲理論建議只喺人類嘅思考中搵到基礎。

參考

• The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences Wayback Machine嘅版面存檔備份, Eugene Wigner, 1960;
• What is mathematical truth?, Hilary Putnam, 1975;
• Mathematics as an objective science, Nicholas D. Goodman, 1979;
• Some proposals for reviving the philosophy of mathematics, Reuben Hersh, 1979;
• Challenging foundations, Thomas Tymoczko, 1986, preface to first section of New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986 and (revised) 1998, which includes also Putnam, Goodman, Hersh.

睇埋

• 數學哲學
• 數學準經驗主義
• 幾何基礎

出面網頁

• What is Foundations of Mathematics?
• Logic and Mathematics Wayback Machine嘅版面存檔備份
• Foundations of Mathematics mailing list Wayback Machine嘅版面存檔備份