集合論

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一個典型嘅温氏圖(Venn diagram);佢顯示咗兩個集合(set)之間嘅交集。

集合論粵拼Zaap6 hap6 leon6英國話:set theory),又叫集論,係一門研究集合數學理論。佢喺 1870 年代由德國數學家康托爾(Georg Cantor)同戴德金(Richard Dedekind)諗出嚟,而今時今日佢成日都畀數學家攞嚟做數學基礎(foundations of mathematics)⸺即係用嚟了解數學係乜嘅學說⸺所以係一個好重要嘅理論。世界各地嘅大學嘅數學系基本上一定會教呢個理論,而且佢亦都有好多數學家研究[1]

集合(set;以下簡稱做「集」)呢個概念喺數學入面出現得好密。一個「集」簡單啲講就係指「一柞嘢」⸺而呢柞嘢通常係有某啲啦掕所以先畀人擺埋一齊,例如係下面呢個集咁:

呢個集嘅定義(definition)可以係「所有單數嘅集」(the set of all odd numbers)⸺一個集可以包含任何嘢:數字、物件、或者抽象概念呀咁;一個集嘅元素(element)可以係根據某個定義湊埋一齊嘅(好似係頭先嗰個例子咁),但係亦都可以係夾硬擺埋一齊、冇乜規律嘅。透過研究唔同集嘅數學特質,數學家發現佢哋可以精確又唔循環(circular)咁定義數字同加減乘除呢啲基本嘅數學概念[2]⸺呢點對於下下都講究系統性嘅數學嚟講好緊要。

定義[編輯]

集(set)係一嚿包括一堆符合條件嘅元素嘅嘢。可以將佢諗成環保分類係既黃、藍、啡嘅桶。

元素(elements)係集入面嘅嘢,多數會叫佢做一個集入面嘅一粒嘢。用返上面既比喻,元素就係放入桶入面嘅垃圾。

黃桶入面裝嘅係鋁製品嘅,入面嘅垃圾一定係鋁製。同一道理,一個集入面嘅元素一定符合嘅條件。

常見嘅集[編輯]

  • 自然數,有啲數學家會將零包括埋入自然數呢個集入面。
  • 整數。由整數出嚟,可以有一個叫正整數嘅集。
  • 有理數
  • 實數所有無理數
  • 複數

空集[編輯]

一個入面無元素嘅集係叫空集(empty set)。

空集可以想像成為一個入面無嘢嘅紙袋,咁呢個袋就係一個空袋。對應就係空集。

空集集[編輯]

空集集(set of empty set)就係一個集,入面裝住一個空嘅集,即係 。咁空集就係呢個集嘅元素,。注意:唔可以寫成

可以幻想成,一個袋入面裝住一個袋,而入面個袋係無袋任何嘢。

相等集[編輯]

如果有兩個集 ,佢哋係相等(equal),即係話兩個集都有相同嘅元素。即係話,呢兩個袋入面裝住嘅嘢係一樣。

一般會以 表示相等, 表示唔相等。

例子[編輯]

有限集[編輯]

如果集入面嘅元素係有限數量嘅話,咁 就係叫有限集(finite set)。而 入面嘅元素數量就叫基數(cardinality)。

基數一般會以 嚟表示 嘅基數。

例子[編輯]

  • 嘅基數係
  • 嘅基數都係

定義集[編輯]

以數學嘅角度嚟定義一個集,會以 乎合條件 。「」係可以表示「當中」(such that)嘅意思。亦會有用「:」嚟代替「」。

例子[編輯]

  • 就係 呢個集。
  • 就係 呢個集。
  • 就係 呢個集。

做數學基礎[編輯]

用集合論定義自然數字[編輯]

睇埋[編輯]

[編輯]

  1. Jech, T. (2013). Set theory. Springer Science & Business Media.
  2. Roitman, J. (1990). Introduction to modern set theory (Vol. 8). John Wiley & Sons.