增減數列

增減數列（Monotone Sequence）係數學上其中一種數列，數列入面嘅數值只可以增加或者減少，所以叫做增減數列。

定義

假設$(x_{n})$係實數列。

如果$$x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq \cdots \leq x_{n}\leq x_{n+1}\leq \cdots$$咁$(x_{n})$就係增長數列（Increasing）。

如果$$x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots \geq x_{n}\geq x_{n+1}\geq \cdots$$咁$(x_{n})$就係遞減數列（Decreasing）。

如果$(x_{n})$係增長或者係遞減，咁佢就係一條增減數列。

增減趨向定理

假設$(x_{n})$係一條增減數列而家趨向一點，咁佢一定係被綁定，反之亦然。（$\iff$）同時，

如果$(x_{n})$係增長數列，咁$\lim(x_{n})=\sup\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}$。

如果$(x_{n})$係遞減數列，咁$\lim(x_{n})=\inf\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}$。

證明：

$(\Rightarrow )$ 因為綁定性質，所以係啱嘅。

$(\Leftarrow )$ 假設$(x_{n})$係被綁定同時佢係增長數列。

因為佢係被綁定，所以會存在一個實數$M\in \mathbb {R}$，令到所有嘅項都符合$x_{n}\leq M$。

利用實數嘅完備定理，可以知到會有一點$x:=\sup\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}$。（想要證明到$x$就係$(x_{n})$趨向嗰一點）

畀任何一個$\varepsilon >0$，將$x-\varepsilon$，並得知佢唔係$(x_{n})$嘅上限，所以會有一個第$x_{K}$項符合$x-\varepsilon <x_{K}$。

因為$(x_{n})$係增長數列，所以一定會有堆項數$n\geq K$符合，$x_{K}\leq x_{n}$。

因此，$x-\varepsilon <x_{K}\leq x_{n}\leq x\leq x+\varepsilon$。

得出，$|x_{n}-x|<\varepsilon ,\,\forall n\geq K$。

睇埋

• 數列
• 極限
• 子數列