郝氏數列

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郝氏數列(Cauchy Sequence)係一種數列,係數學分析入面係一個基礎而重要嘅概念。呢個概念可以引伸到拓樸學,同完備性

定義[編輯]

假設有一條實數列

畀任何一個,如果有一個自然數,令到數列入面嘅第項符合,

咁呢條實數列就係確氏數列。

概念

畀咗一個,同時假設有一條數例,

計每一個項減走之前嗰一個項,,當計到第一次發現

假設嗰兩項做,而。咁佢就係一條確氏數列。

例子

假設,咁

因此,由第一項就符合呢個條件,佢就係一條確氏數列。

郝氏要求[編輯]

郝氏要求(Cauchy Convergence Criterion)係確氏數列其中一個性質。佢指明任務一條趨向一點嘅數例都係一條確氏數列,反之亦然。

性質一[編輯]

假設實數列係趨向一點,咁就係確氏數列。

證明:

假設實數列係趨向一點,姐係

畀任何一個,佢都會有一個數,令到第項符合

,咁樣都會符合

利用三角形不等式,得知

因此,佢係確氏數列。

性質二[編輯]

任何一條確氏數列都係被綁定。

證明:

假設實數列係確氏數列,將,根據定義,

佢都會有一個數,令到第項符合

利用三角形不等式,得知

定義,咁樣對應該任何既

確氏要求[編輯]

一條實數列係趨向一點(即係佢一定係)一條確氏數列。

證明:

() 利用性質一。

() 利用性質二得知,所有確氏數列都係被綁定。因此,可以利用保西奴-華實斯定理

可以從確氏實數列中,得出一條子數列,而且呢條子數列趨向呢點。

因為係確氏數列,利用定義得知,

畀任何一個,都會有一個項符合,

因為趨向呢點,利用定義得知,

畀任何一個,都會有一個項符合,

因為,所以同時符合確氏數列,因此可以將,得出

計算,

因此佢係趨向呢點。

睇埋[編輯]