郝氏數列(Cauchy Sequence)係一種數列,係數學分析入面係一個基礎而重要嘅概念。呢個概念可以引伸到拓樸學,同完備性。
假設有一條實數列
。
畀任何一個
,如果有一個自然數
,令到數列
入面嘅第
項符合,
。
咁呢條實數列
就係郝氏數列。
- 概念
畀咗一個
,同時假設有一條數例,
。
計每一個項減走之前嗰一個項,
,當計到第一次發現
。
假設嗰兩項做
同
,而
。咁佢就係一條郝氏數列。
例子
假設
,咁
。
因此,由第一項就符合呢個條件,佢就係一條郝氏數列。
郝氏要求[編輯]
郝氏要求(Cauchy Convergence Criterion)係郝氏數列其中一個性質。佢指明任務一條趨向一點嘅數例都係一條郝氏數列,反之亦然。
性質一[編輯]
假設實數列
係趨向一點,咁
就係郝氏數列。
證明:
假設實數列
係趨向一點
,姐係
畀任何一個
,佢都會有一個數
,令到第
項符合
。
將
,咁樣
都會符合
。
利用三角形不等式,得知
因此,佢係郝氏數列。
性質二[編輯]
任何一條郝氏數列都係被綁定。
證明:
假設實數列
係郝氏數列,將
,根據定義,
佢都會有一個數
,令到第
項符合
。
利用三角形不等式,得知
定義
,咁樣對應該任何既
,
。
郝氏要求[編輯]
一條實數列係趨向一點
(即係佢一定係)一條郝氏數列。
證明:
(
) 利用性質一。
(
) 利用性質二得知,所有郝氏數列都係被綁定。因此,可以利用保西奴-華實斯定理;
可以從郝氏實數列
中,得出一條子數列
,而且呢條子數列
趨向
呢點。
因為
係郝氏數列,利用定義得知,
畀任何一個
,都會有一個
項符合,
。
因為
趨向
呢點,利用定義得知,
畀任何一個
,都會有一個
項符合,
。
因為
,所以同時符合郝氏數列,因此可以將
,得出
。
計算,
因此佢係趨向
呢點。