極限 (數列)

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呢篇文係講數列嘅極限,唔係講函數極限

數列嘅極限(Limit of Sequence)係數學分析一個簡單同基本嘅概念。

定義[編輯]

數列嘅極限有幾個唔同嘅定義,下面呢個係最基本,最通用嘅其中一個。

假設有一串實數()數列。如果以下條件成立,

「揀任何一個,佢都會有一個自然數,使到任何一個,佢係符合

數學家會講趨向(converge)一點,同埋係叫做嘅極限(Limit)。

如果一串數列係有極限嘅話,我哋會話佢「趨向一點」(convergent)。有人會用嚟表示趨向呢點

如果一串數列係無極限嘅話,我哋會話佢「唔趨向一點」(divergent)

概念

假設有一條數列同時佢趨向呢點。你畀出一個任意嘅

將每一個項都減佢趨向個點,

當條數列嘅第一項符合,叫呢項做。咁之後呢個項之後嘅項都會符合

例子

,明顯地係趨向。畀一個任意嘅

得知。因此,由第一項就符合定義性質。

性質[編輯]

獨特性質[編輯]

一串實數()數列只可以有一點極限。

證明:

假設都係嘅極限。

根據定義,揀任何一個,都會有

,使到任何一個佢係,符合

,使到任何一個佢係,符合

揀一個大啲嘅,使到

利用三角形不等式,得知

因為係自己揀嘅,任何一個都得,所以推論到

綁定定義[編輯]

假設有一串實數()數列。如果有一個實數,令到任何一個符合。咁樣我哋會話係被「綁定」(Bounded)。

綁定性質[編輯]

任何一申會趨向一點嘅數列都係被綁定。

證明:

假設係趨向一點,即係

,根據定義,一定會一個,令到所有符合

利用三角形不等式,得知

。咁樣就會係呢串數列入面最大嗰個數字,因為第嘅項會細過,之後喺第項同之前嘅加埋入面揀個最大嘅,叫佢做

咁樣呢串數就一定會細過,即係

排序性質[編輯]

如果係各自趨向一點,以下三個特性係啱嘅:

  • ,咁樣
  • ,咁樣
  • ,咁樣
證明:

(第一點) 假設第一點嘅結論唔成立,即係話趨向嗰點

,注意呢個係正數。

因為係趨向一點,所以一定會有一個,令到任何第符合,

淨係睇第項,得知

因為假設咗第一點係唔成立,所以

(第二點) 假設同時假設任何一項

因為極限計算性質,得知

因為第一點得知,

因此,

(第三點) 假設,利用上者得出

同時將,利用上者得出

合併上面兩條式,

極限計算[編輯]

假設有兩串趨向一點嘅數列。假設有一點。咁以下嘅式就會成立:

再假設有串趨向一點嘅數列,而。咁樣

證明:

(第一同第二點)假設有兩串趨向一點嘅數列。根據定義得出,揀任何一個,都會有

,使到任何一個佢係,符合

,使到任何一個佢係,符合

揀一個大啲嘅,使到

利用三角形不等式,得知

(第三點) 因為綁定性質,所以得知有一個,令到任何一個符合

定義,根據定義得出,揀任何一個,都會有

,使到任何一個佢係,符合

,使到任何一個佢係,符合

再揀一個大啲嘅,使到

(第四點) 如果,咁樣。如果證明到呢個係啱嘅話,利用上面就可以證明到

,根據定義,一定會一個,令到所有符合。再利用三角形不等式

因為都係正數,咁就得出,

,根據定義,一定會一個,令到所有符合

將兩串數例合併,定義,咁令到所有嘅符合

因此,

例子[編輯]

計算

利用加法計算,

因為,同埋

因此,

推論[編輯]

由上面嘅嘢,可以推論到以下嘅嘢都係啱嘅:

夾縫定理[編輯]

假設有三串實數()數列,,對應任何嘅符合,同時嘅話,趨向一點,而

證明:

假設,根據定義,有一個對應既,係每一個項入面,都符合

同埋

上面,可以得出;同時,可以得出

同時對應呢個,根據假設得出,

因此得出,根據定義,對應嘅,喺每一個項入面,都符合

睇埋[編輯]