否定證明 (粵拼 :Fau2 ding6 zing3 ming4 ;英國話 :Proof by negation,又或者 Proof by contrapositive)係數學 入面其中一個證明 方法。佢同矛盾證明 好似,不過係兩個唔同嘅概念。根據邏輯 ,「
A
⟹
B
{\displaystyle A\implies B}
」係等於「
not
B
⟹
not
A
{\displaystyle {\text{not }}B\implies {\text{not }}A}
」。呢個就係否定證明嘅核心概念。
否定句 [ 編輯 ]
一般數學句子都會有佢嘅相反,但係咩係一句句子嘅完全相反,就需要用到邏輯學幫手。
一句句子「
A
⟹
B
{\displaystyle A\implies B}
」嘅否定(Contrapositive)係「
not
B
⟹
not
A
{\displaystyle {\text{not }}B\implies {\text{not }}A}
」。
「我阿媽係女人。」嘅否定係「唔係女人嘅就一定唔係我阿媽。」
「我食飯,就會飽。」嘅否定係「我唔飽,即係我冇食飯。」
證明出「
not
B
⟹
not
A
{\displaystyle {\text{not }}B\implies {\text{not }}A}
」,即係證明出「
A
⟹
B
{\displaystyle A\implies B}
」。
證明例子 [ 編輯 ]
證明「假設
x
2
{\displaystyle x^{2}}
係雙數,
x
{\displaystyle x}
都會係雙數。」
證明:
否定句:「如果
x
{\displaystyle x}
唔係雙數,咁
x
2
{\displaystyle x^{2}}
都唔係雙數。」
換句話講,即係「如果
x
{\displaystyle x}
係單數,咁
x
2
{\displaystyle x^{2}}
都係單數。」
因為
x
{\displaystyle x}
係單數,所以
x
=
2
k
+
1
,
k
∈
Z
{\displaystyle x=2k+1,k\in \mathbb {Z} }
係一啲整數。
x
2
=
(
2
k
+
1
)
2
=
4
k
2
+
2
k
+
1
=
2
(
2
k
2
+
k
)
+
1
{\displaystyle x^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+2k+1=2(2k^{2}+k)+1}
因為
2
k
2
+
k
{\displaystyle 2k^{2}+k}
係一啲整數,所以
x
2
{\displaystyle x^{2}}
係單數。
集合論例子 [ 編輯 ]
如果
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
都係集 (Set),而佢哋符合
C
∖
D
⊂
A
∩
B
{\displaystyle C\backslash D\subset A\cap B}
同埋
x
∈
C
{\displaystyle x\in C}
。證明如果
x
∉
A
{\displaystyle x\notin A}
,咁就
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
。
證明 :
如果用直接證明,會好撈絞。
如果利用否定證明,即係假設
x
∉
D
{\displaystyle x\notin D}
。
因為本身
x
∈
C
{\displaystyle x\in C}
,而
C
∖
D
⊂
A
∩
B
{\displaystyle C\backslash D\subset A\cap B}
,所以
x
∈
A
∩
B
{\displaystyle x\in A\cap B}
。
咁
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
一定成立。
反證法同否定證明嘅分別 [ 編輯 ]
反證法 就係:假設
A
{\displaystyle A}
啱,
A
⟹
B
{\displaystyle A\implies B}
,又發現
B
{\displaystyle B}
唔啱。於是乎證明到
A
{\displaystyle A}
唔啱。
否定證明就係:證明到
A
⟹
B
{\displaystyle A\implies B}
啱。於是乎證明到
not
B
⟹
not
A
{\displaystyle {\text{not }}B\implies {\text{not }}A}
啱。
更多例子 [ 編輯 ]
以下命題都係用否定證明證出嚟:
假設
x
,
y
∈
N
{\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }
都係自然數 。如果
x
y
{\displaystyle xy}
係單數 ,咁
x
{\displaystyle x}
同
y
{\displaystyle y}
都係單數。
假設
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
都係實數 。如果
x
+
y
{\displaystyle x+y}
係無理數 ,咁
x
{\displaystyle x}
或者
y
{\displaystyle y}
係無理數。
Mariotti, M. A. (2006). Proof and proving in mathematics education . Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, present and future, 173-204.