否定證明 （粵拼 ：Fau2 ding6 zing3 ming4 ；英國話 ：Proof by negation，又或者 Proof by contrapositive）係數學 入面其中一個證明 方法。佢同矛盾證明 好似，不過係兩個唔同嘅概念。根據邏輯 ，「
A
⟹
B
{\displaystyle A\implies B}
not
B
⟹
not
A
{\displaystyle {\text{not }}B\implies {\text{not }}A}
否定句 [ 編輯 ] 一般數學句子都會有佢嘅相反，但係咩係一句句子嘅完全相反，就需要用到邏輯學幫手。
一句句子「
A
⟹
B
{\displaystyle A\implies B}
not
B
⟹
not
A
{\displaystyle {\text{not }}B\implies {\text{not }}A}
「我阿媽係女人。」嘅否定係「唔係女人嘅就一定唔係我阿媽。」
「我食飯，就會飽。」嘅否定係「我唔飽，即係我冇食飯。」
證明出「
not
B
⟹
not
A
{\displaystyle {\text{not }}B\implies {\text{not }}A}
A
⟹
B
{\displaystyle A\implies B}
證明例子 [ 編輯 ] 證明「假設
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
{\displaystyle x}
證明：
否定句：「如果
x
{\displaystyle x}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
換句話講，即係「如果
x
{\displaystyle x}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
因為
x
{\displaystyle x}
x
=
2
k
+
1
,
k
∈
Z
{\displaystyle x=2k+1,k\in \mathbb {Z} }
x
2
=
(
2
k
+
1
)
2
=
4
k
2
+
2
k
+
1
=
2
(
2
k
2
+
k
)
+
1
{\displaystyle x^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+2k+1=2(2k^{2}+k)+1}
因為
2
k
2
+
k
{\displaystyle 2k^{2}+k}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
集合論例子 [ 編輯 ] 如果
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
集
C
∖
D
⊂
A
∩
B
{\displaystyle C\backslash D\subset A\cap B}
x
∈
C
{\displaystyle x\in C}
x
∉
A
{\displaystyle x\notin A}
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
證明 ：
如果用直接證明，會好撈絞。
如果利用否定證明，即係假設
x
∉
D
{\displaystyle x\notin D}
因為本身
x
∈
C
{\displaystyle x\in C}
C
∖
D
⊂
A
∩
B
{\displaystyle C\backslash D\subset A\cap B}
x
∈
A
∩
B
{\displaystyle x\in A\cap B}
咁
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
反證法同否定證明嘅分別 [ 編輯 ] 反證法 就係：假設
A
{\displaystyle A}
A
⟹
B
{\displaystyle A\implies B}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
否定證明就係：證明到
A
⟹
B
{\displaystyle A\implies B}
not
B
⟹
not
A
{\displaystyle {\text{not }}B\implies {\text{not }}A}
更多例子 [ 編輯 ] 以下命題都係用否定證明證出嚟：
假設
x
,
y
∈
N
{\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }
自然數 。如果
x
y
{\displaystyle xy}
單數 ，咁
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
假設
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
實數 。如果
x
+
y
{\displaystyle x+y}
無理數 ，咁
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
Mariotti, M. A. (2006). Proof and proving in mathematics education . Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, present and future, 173-204.
