數學嘅數
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基本
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延伸
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其他
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圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = 
無窮大量 ∞
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質數(粵拼:zat1 sou3),又叫素數(sou3 sou3),係個大過 1 嘅自然數,除咗自己同 1 之外,無其他數可以將佢整除。英文入面叫質數做prime number或者prime。
大過1又唔係質數嘅自然數就叫合成數,合成數都係由大過1嘅自然數相乘而來。例如 5 就係質數,因為要將 5 寫做乘積嘅話,就一定係
或者係
,點都要用返 5 自己。4 就係一個合成數,因為可以將 4 寫做
,用兩個細啲嘅數相乘而得到 4。
喺數論入面,質數好重要,因為算術基本定理指出,大過 1 嘅自然數,一係佢已經係質數,一係佢可以寫做一柞質數乘埋,而且呢個寫法唔計次序嘅話係唯一嘅。
質數有無限個,公元前300年左右,歐幾理德證明過呢點。頭三十個質數係2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109同埋113。(OEIS數列A000040)
假設
係一個整數。如果
只有
同埋
係佢嘅因數,咁
就係一個質數。唔係嘅話,
就係一個合成數。
同埋
就質數、合成數兩者都唔係。
愛氏篩搵120以內質數嘅演算法
搵質數最簡單係用愛氏篩(Sieve of Eratosthenes),即係先將第一個質數(即係2)嘅倍數篩走,跟住將下一個質數(即係3)嘅倍數篩走,如此類推。
- 歐幾理得推論(質數版)
如果
係一個質數同埋
,咁就一係
或者
。
證明:
假設
唔可以被
整除,即係
。
因為
,利用相對質數性質,得出
。
由上可得推理:
如果
係一個質數同埋
,咁樣
,
係一個自然數符合
。
呢個推理指嘅係,如果質數
除得盡一個合成數,呢個合成數由
個數字乘出嚟,佢嘅因數就叫做
,咁樣
一定除得盡其中一個因數。
證明:
利用歐幾理得推論,
或者
。
再利用多一次,得出
或者
。
如此類推,
或者
或者
或者
,結果就係一定除得盡其中一個。
存在無限質數。
證明: 假設得
咁多個質數,叫
,而家考慮一個整數
。
假設
係一個質數。
因為佢係上面講嘅樣,所以唔止得
咁多個質數,令到同第一句有矛盾,所以
唔可以係質數。
根據質數分解,
一定可以被一啲(即係上面n咁多個其中)質數除得盡,但係根據餘數定理,
係唔可能俾上面n個質素除得盡,
- 即係
一定有
唔可以被整除,
所以
係一個質數。因為咁令到同第一句有矛盾。
以上兩個情況都出現咗矛盾,即係話假設出錯,質數一定係有無限咁多個。
細過或等於n嘅自然數入面大概有
個質數。
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