無限大

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數學
基本

自然數
整數
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高斯整數
代數數
實數
複數

負數
分數
單位分數
無限小數
規矩數
無理數
超越數
二次無理數
虛數
艾森斯坦整數

延伸

雙複數
四元數
共四元數
八元數
超數
上超實數
超現實數

超複數
十六元數
複四元數
Tessarine
大實數
超實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數序列
數學常數

圓周率 π = 3.141592653…<NoInclude>

[]

自然對數嘅底 e = 2.718281828…<NoInclude>

[]

虛數單位 i = <NoInclude>

[]

無窮大量 <NoInclude>

[]

無窮無限大數學符號為∞。來自拉丁文嘅「infinitas」,即係「冇邊界」咁解。佢喺神學哲學數學同埋日常生活中有唔同嘅概念。通常用呢個詞嘅時候唔涉及更加技術層面嘅定義。

喺神學方面,例如喺神學家東斯歌德(Duns Scotus)嘅著作中,上帝嘅無限能量係運用喺無約束上,而唔係運用喺無限量上。喺哲學方面,無窮可以歸因於空間同埋時間。喺神學同埋哲學兩方面,無窮又作為無限,好多文章都探討過無限、絕對、上帝同埋芝諾悖論等嘅問題。

喺數學方面,無窮同埋以下嘅主題或概念相關:數學嘅極限阿列夫數集合論中嘅、戴德金-無限群、羅素悖論、超實數、射影幾何擴展嘅實數軸同埋絕對無限。喺一啲主題或概念中,無窮被認為係一個超越邊界而增加嘅概念,而唔係一個數。

喺大眾文化方面,《反斗奇兵》入面巴斯光年嘅口頭禪:「To infinity and beyond!」(到達無窮,超越無窮),呢句話亦可以睇成研究大型基數嘅集合論者嘅吶喊。

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早期無限觀點[編輯]

最早關於無限嘅記載出現喺印度夜柔吠陀(西元前1200-900)。書中話:「如果你從無限移走或添加一部分,剩低嘅都係無限。」

印度耆那教嘅經書《Surya Prajnapti》(c. 400 BC)將數分作三類:「計到嘅」、「計唔到嘅」同埋「無限」。每一類再細分作三序分:

  • 計到嘅:小嘅、中嘅同埋大嘅。
  • 計唔到嘅:接近冇得計嘅、真正冇得計嘅同埋計無可計嘅。
  • 無限:接近無限、真正無限同埋無窮無盡。

現代科學家解析古代羊皮卷中嘅阿基米德手稿,喺殘卷《方法》命題14中,發現阿基米德開始計算無窮大嘅數目。佢採取近似於19世紀微積分同埋集合論嘅手法,計算咗兩組無窮大嘅集合,以求同埋嘅方法,證明佢哋之間嘅數目係相等嘅。

呢樣喺人類記載上第一次出現無限都可以分類呢一個念頭。

文藝復興時代至近代[編輯]

伽利略最先發現一個集合同佢自己嘅正適子集可以有相同大細。

佢用上一一對應嘅概念說明自然數集{1, 2, 3, 4 ...}同子集平方數集{1,4,9,16,...}一樣多。就係1→1、2→4、3→9、4→16、…

一一對應正係用於研究無限必要嘅手法。

神學之中嘅無窮[編輯]

人眼中嘅無限喺上帝眼中都係有限,人無法理解上帝嘅無限,因為上帝冇允許人跨越過上帝嘅知識範圍。

數學中嘅無窮[編輯]

對於無限有以下解釋或定義:

「無限唔係指邊界外就冇嘢,而係指邊界外永遠有另一個邊界存在。」

實分析中嘅無窮[編輯]

實分析中,符號 稱為「無窮」,代表無界極限 表示 超過任何一個數, 表示 最終細過任何一個數。標記為 同埋 嘅點加入到實數組成嘅拓撲空間,就產生實數集嘅「兩點緊致化」。再加入代數屬性,就可以得到超實數。亦可以將 同埋 作為一個點,並得到實數嘅「一點緊致化」,亦即係實射影線射影幾何喺平面幾何上引入無窮遠線,喺高維上亦有類似概念。

無窮大同埋無窮小[編輯]

一般講無窮指嘅都係無窮大,但係無窮小亦係一種無窮。通過 嘅映射即可以將無窮大映射為無窮細。喺微積分中,常用高階無窮小嘅概念。

無窮遠點[編輯]

無窮遠點係一個加喺實數軸上後得到實射影直線嘅點。

集合論中嘅無窮[編輯]

集合論中對無窮有不同嘅定義。德國數學家康托爾提出,對應於唔同無窮集合嘅元素嘅個數(基數),有唔同嘅「無窮」。

呢度比較唔同嘅無窮嘅「大細」嘅時候唯一嘅辦法就係通過可唔可以建立「一一對應關係」來判斷,而拋棄歐幾里得「整體大於部分」嘅看法。例如整數集同埋自然數集由於可以建立一一對應嘅關係,佢哋就具有相同嘅無窮基數

例如,

  • 可數集合,好似自然數集整數集乃至有理數集對應嘅基數被定義為阿列夫0()。
  • 比可數集合「大」嘅稱之為不可數集合,好似實數集,佢嘅基數同埋自然數嘅冪集相同()。
  • 由於一個無窮集合嘅冪集總係具有比佢本身更高嘅基數,所以通過構造一系列嘅冪集,可以證明無窮嘅基數嘅個數係無窮嘅。然而,無窮基數嘅個數比任何基數都多,從而佢係一個比任何無窮大都要大嘅「無窮大」,佢唔可以對應於一個基數,否則會產生康托爾悖論嘅一種形式。

無窮嘅虛數形式標記[編輯]

無窮係自然科學理論同埋現象描述中嘅重要概念同埋思想,假設:

通過Euler公式可以得到:

咁表明 係對負無窮大()予以虛數形式嘅標記[1]

無窮影像[編輯]

被普遍認為嘅「兩塊產生無窮影像」實際上係錯嘅。首先,喺物理學界,速度係有限嘅(大概每秒 300,000,000 米),可以喺鏡上面睇到嘅影像係因為光喺鏡上反射至會出現。但係,光嘅速度有限,因此兩塊鏡產生嘅影像亦會有限,而且影像嘅數目會以一直變慢嘅增長率增加。

參考[編輯]

  1. YAN Kun. Primary annotation of symbol basing on imaginary form about infinity(R).Xi'an Modern Nonlinear Science Applying Institute, 18 March 2009.

睇埋[編輯]