無理數

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數學
基本

延伸

其他

圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = 
無窮大量 

無理數,即係唔係有理數實數,唔能夠寫成兩個整數嘅比。若果將佢寫成小數形式,小數點之後嘅數字就會有無限咁多個,而且唔會循環。常見嘅無理數有大部分嘅平方根πe(其中後兩者同時係超越數)等。無理數嘅另一個特徵係無限嘅連分數表達式。

傳說中,無理數最早係由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。佢用幾何方法證明無辦法用整數以及分數嚟表示。而畢達哥拉斯深信任意數都可以用整數同分數嚟表示,唔相信無理數嘅存在。但係佢始終證明唔到唔係無理數,後來希伯斯將無理數透露畀外人知道,佢本人因為呢次知識外泄觸犯學派章程而俾人處死,罪名等同於「瀆神」。

例子[編輯]

證明[編輯]

  • 證明 係無理數:先假設佢係有理數,就可以寫做最簡分數
由於 互質,所以 都係互質。因為 係整數,所以
得到 要係整數,但冇整數嘅平方係 ,所以矛盾,即係假設唔成立,所以 係無理數。

唔知係咪無理數嘅數[編輯]

對於非零整數 mn,唔知 mπ + ne 係唔係無理數。

我哋亦都唔知道 2e, πe, 或者 歐拉-馬歇羅尼常數 γ 係咪無理數。

無理數集嘅特性[編輯]

無理數集係不可數集(因有理數集係數得到而實數集係數唔到嘅)。無理數集係一個唔完備拓撲空間,佢係同所有正數數列嘅集拓撲同構嘅,當中嘅同構映射係無理數嘅連分數開展。因而Baire category theorem可以應用喺無數間嘅拓撲空間上。