無理數

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數學
基本

自然數
整數
二進分數
有限小數
循環小數
有理數
高斯整數
代數數
實數
複數

負數
分數
單位分數
無限小數
規矩數
無理數
超越數
二次無理數
虛數
艾森斯坦整數

延伸

雙複數
四元數
共四元數
八元數
超數
上超實數
超現實數

超複數
十六元數
複四元數
Tessarine
大實數
超實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數序列
數學常數

圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = 
無窮大量 

無理數,即係唔係有理數實數,唔能夠寫成兩個整數嘅比。若果將佢寫成小數形式,小數點之後嘅數字就會有無限咁多個,而且唔會循環。常見嘅無理數有大部分嘅平方根πe(其中後兩者同時係超越數)等。無理數嘅另一個特徵係無限嘅連分數表達式。

傳說中,無理數最早係由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。佢用幾何方法證明無辦法用整數以及分數嚟表示。而畢達哥拉斯深信任意數都可以用整數同分數嚟表示,唔相信無理數嘅存在。但係佢始終證明唔到唔係無理數,後來希伯斯將無理數透露畀外人知道,佢本人因為呢次知識外泄觸犯學派章程而俾人處死,罪名等同於「瀆神」。

例子[編輯]

證明[編輯]

  • 證明 係無理數:先假設佢係有理數,就可以寫做最簡分數
由於 互質,所以 都係互質。因為 係整數,所以
得到 要係整數,但冇整數嘅平方係 ,所以矛盾,即係假設唔成立,所以 係無理數。

唔知係咪無理數嘅數[編輯]

對於非零整數 mn,唔知 mπ + ne 係唔係無理數。

我哋亦都唔知道 2e, πe, 或者 歐拉-馬歇羅尼常數 γ 係咪無理數。

無理數集嘅特性[編輯]

無理數集係不可數集(因有理數集係數得到而實數集係數唔到嘅)。無理數集係一個唔完備拓撲空間,佢係同所有正數數列嘅集拓撲同構嘅,當中嘅同構映射係無理數嘅連分數開展。因而Baire category theorem可以應用喺無數間嘅拓撲空間上。