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e (數學常數)

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數學
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其他

圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = 
無窮大量 

自然指數同埋自然對數函數嘅底數。有時又叫做自然底數歐拉數Euler's number),個名來自瑞士數學家歐拉;佢嘅數值大約係(小數點後20位):

圓周率 同埋虛數單位 一樣, 係數學入面最重要嘅常數之一。

定義

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可以用導數嚟定義。如果試吓對隨便一個指數函數 求導,根據基本原理:

會發現佢嘅導數等於佢自己乘一個數,所以為咗方便,將後面嗰個數 定義做 ,呢個時候嗰個特定嘅 就係最自然嘅底數,即數學常數 。 亦即係 ,轉換一吓

得到

即係話 嘅定義係,入面嘅 趨於無限大

如果用二項式定理展開佢,會變成:

所以 亦可定義做 ,當中嘅階乘嘅意思。

當定義咗 之後,可以定義埋自然對數 。 所以 (對數律)。 然後 導數就可以用連鎖律計:

另一方面,睇返一開始用基本原理得到 導數,而家知道 。 再調位:

因為 同埋上面對 嘅定義,所以:

用二項定理展開,過程同上面差唔多,會得到

所以自然指數 可定義做

無理數

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係一個無理數。可以用反證法證明。

假設 係一個有理數正整數,同埋

,當中嘅 係大於 嘅任意正整數。
,入面 係整數。

所以 整數 + 小數,而左面嘅 係整數。

得出「整數=整數+小數」嘅矛盾,即係話原本嘅假設係錯, 唔係有理數,但 實數,所以只能夠係無理數

用處

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好多增長或衰減過程都會用到 ,就好似計利息咁,可以睇下複利

睇埋

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