實數

用嚟表示「所有實數組成嘅集合」嘅符號：粗體R

實數（粵拼：sat6 sou3，英文：real numbers）係指可以連續噉喺數線上面表達出嚟嘅數，另一個講法係可以寫做（可能無限長嘅）小數嘅數。

實數域係個完備嘅有序域（complete ordered field），係有理數域嘅完備化（completion），係複數域$\mathbb {C}$嘅子域（實數就係虛部（imaginary part）係$0$嘅複數）；實數可以用戴德金分割（Dedekind cut）定義；每個實數都係一列有理數嘅極限，直觀、應用上，一個實數可以用有限或者無限嘅小數表示。數學家會用「$\mathbb {R}$」嚟表示實數集，即係所有實數。

實數包含有理數之外嘅數叫無理數，包括圓周率$\pi$、${\sqrt {2}}$等等。

實數係日常生活都會見到嘅數字，所以通常嚟講，多數會直接用數字嚟形容實數。

代數性質

$\mathbb {R}$包括咗十條對應加法同乘法嘅代數性質。頭四條係對應加法，中間四條係對應乘法，最後兩條係講加法同乘法之間嘅關係。

1. $a+b=b+a,\forall a,b\in \mathbb {R}$。意思係，加法次序唔影響結果。
2. $(a+b)+c=a+(b+c),\forall a,b,c\in \mathbb {R}$。意思係，三個實數嘅加法次序唔影響結果。
3. $\exists \,0\in \mathbb {R}$使到$0+a=a+0=a,\forall a\in \mathbb {R}$。意思係，任何嘢加零，都唔會改變原本嗰樣嘢。而呢個零係一定喺$\mathbb {R}$入面。
4. 每一個對應嘅$a\in \mathbb {R}$，$\exists \,(-a)\in \mathbb {R}$使到$a+(-a)=(-a)+a=0$。意思係，任何一個數，都會搵到一個對應嘅數，兩個加埋會變做零。
5. $a\times b=b\times a,\forall a,b\in \mathbb {R}$。意思係，乘法次序唔影響結果。
6. $(a\times b)\times c=a\times (b\times c),\forall a,b,c\in \mathbb {R}$。意思係，三個實數嘅乘法次序唔影響結果。
7. $\exists \,1\in \mathbb {R}$使到$1\times a=a\times 1=a,\forall a\in \mathbb {R}$。意思係，一定有一個「一」係$\mathbb {R}$入面，令到任何嘢乘佢都係等於自己。
8. 每一個對應嘅非零$a\neq 0\in \mathbb {R}$，$\exists \,{\frac {1}{a}}\in \mathbb {R}$使到$a\times {\frac {1}{a}}={\frac {1}{a}}\times a=1$。意思係，一個實數一定會有一個對應嘅實數，之後佢哋兩個乘埋就係一。
9. $a\times (b+c)=(a+b)\times (a+c),\forall a,b,c\in \mathbb {R}$同埋$(b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a),\forall a,b,c\in \mathbb {R}$。
10. $1\neq 0$。

代數性質嘅推論

推論一

如果有兩個數字$a,b\in \mathbb {R}$係符合$a+b=a$，咁即係可以得出$b=0$。

證明：

$b=b+0=b+(a+(-a))=(b+a)+(-a)=(a+b)+(-a)=a+(-a)=0$。

以上嘅證明只可以利用代數性質嘅十條定理嚟做，唔可以用平時處理加乘嘅習慣嚟做。

呢個證明嘅意義，係證明只有零先可以做到上面題及嘅嘢。

推論二

如果有兩個數字$a,b\in \mathbb {R}$係符合$b\neq 0$同埋$a\times b=b$，咁即係得出$a=1$。

證明：

$a=a\times 1=a\times (b\times {\frac {1}{b}})=(a\times b)\times {\frac {1}{b}}=b\times {\frac {1}{b}}=1$。

同一個原理，唔可以用平時嘅習慣處理。

呢個證明證明，只有一先可以做到上面題及嘅嘢。

推論三

如果$a\in \mathbb {R}$，咁樣$a\times 0=0$。

證明：

推$a+(a\times 0)=a\times 1+a\times 0=a\times (1+0)=a\times 1=a$。

再利用推論一嘅結果，$a\times 0=0$。

呢個證明嘅意義在於，佢證明咗咩嘢乘零都會等於零。

推論四

如果$a,b\in \mathbb {R}$符合$a\neq 0$同埋$a\times b=1$，咁得出$b={\frac {1}{a}}$。

證明：

$b=b\times 1=b\times (a\times {\frac {1}{a}})=(b\times a)\times {\frac {1}{a}}=(a\times b)\times {\frac {1}{a}}=1\times {\frac {1}{a}}={\frac {1}{a}}$。

就係因為呢個證明，先可以進行到除法。

推論五

如果$a,b\in \mathbb {R}$符合$a\times b=0$，之後得出$a=0$或者$b=0$。

證明：

假設$a\neq 0$。（想要證出$b=0$。）

${\begin{aligned}b&=b\times 1\\&=b\times (a\times {\frac {1}{a}})\\&=(b\times a)\times {\frac {1}{a}}\\&=(a\times b)\times {\frac {1}{a}}\\&=0\times {\frac {1}{a}}\\&=0\end{aligned}}$

排序性質

排序性質（Order Properties）係$\mathbb {R}$其中一個性質。佢係嚟自於三叉性質（Trichotomy Proporties），就係因為三叉定理，$\mathbb {R}$先會有不等式。

三叉性質

考慮$\mathrm {P}$係$\mathbb {R}$嘅一個子集，$\mathrm {P}$係一個整實數嘅子集，然後$\mathrm {P}$符合以下三項特性：

• 如果$a,b\in \mathrm {P}$，咁樣$a+b\in \mathrm {P}$。
• 如果$a,b\in \mathrm {P}$，咁樣$a\times b\in \mathrm {P}$。
• 所有$\mathbb {R}$入面嘅元素，叫$a\in \mathbb {R}$，都係必定符合以下其中一項。
  • $a\in \mathrm {P}$
  • $a=0$
  • $-a\in \mathrm {P}$

因為呢個三叉性質，$\mathbb {R}$入面嘅數字可以分做正數、負數同埋零。就係因為噉，所以產生咗不等式。從而$\mathbb {R}$入面嘅數字有大細之分。

完全性質

完全性質（Completeness Property）係$\mathbb {R}$嘅最終性質，意思係「$\mathbb {R}$係俾數字填滿」。舉個例，喺$0.5$同$0.6$中間有無限咁多個數字。換句話講，你唔會搵到有兩個數字之間係無數字。

完全性質可以由好多唔同方面去證明，其中一個係嚟自完備。完全性質指明：「任何一個實數集，如果佢有上限，就一定有一個最小上限。」因為咁，亦到有人叫完全性質做「最小上限性質」（Supremum Property）。

睇埋

• 絕對值
• 不等式
• 界限
• 間距
• 質進數
• 複數
• 實數完備性