實數

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實數(Real numbers)係個完備有序域(complete ordered field),係有理數域嘅完備化(completion),係複數域子域(實數就係虛部(imaginary part)係嘅複數);實數可以用戴德金分割(Dedekind cut)定義;每個實數都係一列有理數嘅極限,直觀、應用上,一個實數可以用有限或者無限嘅小數表示。數學家會用「」嚟表示實數集,即係所有實數。

實數包含有理數之外嘅數叫無理數,包括圓周率等等。

實數係日常生活都會見到嘅數字,所以通常嚟講,多數會直接用數字嚟形容實數。

代數性質[編輯]

包括咗十條對應加法乘法嘅代數性質,一般會稱為「十戒」。頭四條係對應加法,中間四條係對應乘法

  1. 。意思係,加法次序唔影響結果。
  2. 。意思係,三個實數嘅加法次序唔影響結果。
  3. 使到。意思係,任何嘢加零,都唔會改變原本嗰樣嘢。而呢個零係一定喺入面。
  4. 每一個對應嘅使到。意思係,任何一個數,都會搵到一個對應嘅數,兩個加埋會變做零。
  5. 。意思係,乘法次序唔影響結果。
  6. 。意思係,三個實數嘅乘法次序唔影響結果。
  7. 使到。意思係,一定有一個「一」係入面,令到任何嘢乘佢都係等於自己。
  8. 每一個對應嘅非零使到。意思係,一個實數一定會有一個對應嘅實數,之後佢哋兩個乘埋就係一。
  9. 同埋

代數性質嘅推論[編輯]

推論一[編輯]

如果有兩個數字係符合,咁即係可以得出

證明:

以上嘅證明只可以利用代數性質嘅十條定理嚟做,唔可以用平時處理加乘嘅習慣嚟做。

呢個證明嘅意義,係證明只有零先可以做到上面題及嘅嘢。

推論二[編輯]

如果有兩個數字係符合同埋,咁即係得出

證明:

同一個原理,唔可以用平時嘅習慣處理。

呢個證明證明,只有一先可以做到上面題及嘅嘢。

推論三[編輯]

如果,咁樣

證明:

再利用推論一嘅結果,

呢個證明嘅意義在於,佢證明咗咩嘢乘零都會等於零。

推論四[編輯]

如果符合同埋,咁得出

證明:

就係因為呢個證明,先可以進行到除法

推論五[編輯]

如果符合,之後得出或者

證明:

假設。(想要證出。)

排序性質[編輯]

內文: 不等式

排序性質(Order Properties)係其中一個性質。佢係嚟自於三叉性質(Trichotomy Proporties),就係因為三叉定理,先會有不等式。

三叉性質[編輯]

考慮嘅一個子集,係一個整實數嘅子集,然後符合以下三項特性:

  • 如果,咁樣
  • 如果,咁樣
  • 所有入面嘅元素,叫,都係必定符合以下其中一項。

因為呢個三叉性質,入面嘅數字可以分做正數、負數同埋零。就係因為噉,所以產生咗不等式。從而入面嘅數字有大細之分。

完全性質[編輯]

內文: 界限 (數學)

完全性質(Completeness Property)係嘅最終性質,意思只係「係俾數字填滿」。舉個例,喺中間有無限咁多個數字。換句話講,你唔會搵到有兩個數字之間係無數字。

完全性質可以由好多唔同方面去證明,其中一個係嚟自完備。完全性質指明:「任何一個實數集,如果佢有上限,就一定有一個最小上限。」因為咁,亦到有人叫完全性質做「最小上限性質」(Supremum Property)。

睇埋[編輯]