線性代數

三維歐氏空間R³係一個向量空間，而通過原點嘅線同平面係R³嘅向量子空間。

線性代數、向量代數，數學一門，其中一種睇法，代數喺向量空間、線性映射點搞。更簡單睇法，稱為一次方程代數，有一元到多元。代數話佢至少一個變數。一次方程，變數單純一次方，唔會有其他變化。幾何表達，一元對應一維，二元對應二維，如此類推。喺一維二維三維，以至多維空間上，必然直筆甩，所以叫綫性，直綫咁解。直筆甩，必然有方向，所以好似支箭咁，叫向量。換句話講，呢門嘢研究直綫。

一般用法，以幾條方程點求出變數解。求解方式好古老，至少喺周時已發展出來，喺公元前一百年，匯集成九章算術時，方程章第八，就有十八例，教人解聯立一次方程組，甚至不定方程組，相當實用。十七世紀笛卡兒開紿研究佢幾何意義，演變成數學一門。運算上，亦好多時借用矩陣。

線性代數會關注好似以下噉嘅線性方程式：

$a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b$

會關注好似以下噉嘅線性映射：

$(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}$

仲會留意呢啲物體點樣喺向量空間之中表示。

線性代數係數學嘅基礎，幾乎所有嘅數學分支都會用到。例如喺幾何入面，一啲抽象嘅概念例如切空間、微分形式同埋（餘）同調等等，本質上都係一啲線性空間嚟嘅。另一方面，屬數學分析嘅泛函分析，亦都可以睇做對唔同嘅函數線性空間嘅研究。

基礎

喺圖中個三維空間，黑箭咀 $\mathbf {a}$ 係一個向量，佢可以拆開做三個互相成垂直嘅量：x 軸嘅 $\mathbf {a} _{x}$、y 軸嘅 $\mathbf {a} _{y}$ 同 z 軸嘅 $\mathbf {a} _{z}$。

睇埋：線性方程組、代數同幾何學

線性代數係數學其中一個子領域。專門應付向量同埋矩陣。廣義化啲睇，係處理緊向量空間以及線性變換。線性代數上嘅概念，喺好多科學同工程學學科嗰度都會用到。

線性方程式係方程式一種，裡便每個未知數最高嘅次方都只係 1 ，而且未知數之間唔會相乘。喺最簡單嘅二維空間裡便，線性方程式喺笛卡兒坐標系統上面畫出嚟會出直線。一條包含 n 個未知數

$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

噉嘅線性方程式可以寫成以下噉嘅樣：

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b$

其中 $a_{1},\dots ,a_{n}$ 係系數，而 b 則係某個常數。進一步講，多過一條方程式可以組埋一齊，形成線性方程組，比如係以下呢個三條式嘅線性方程組噉：

${\begin{cases}2x+y-z=8\\-3x-y+2z=-11\\-2x+y+2z=-3\end{cases}}$

若果某個向量 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ 滿足到上述呢個線性方程組，個向量就算係個方程組嘅一個解答。若果某線性方程組有至少一個解答，噉佢就謂之內部一致。好似噉嘅線性方程組，仲可以用矩陣嚟表達，例如上面嗰個方程組，就可以用以下嘅增廣矩陣表達：

$$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$$

若果彼此獨立、冇多餘嘅方程式嘅數量，大過或者等如未知數嘅數量，個方程組就有可能搵到一個獨一無二嘅解答。否則個方程組就算係無法決定嘅，冇辦法搵出一個解答，而係會有無限咁多個解答。

向量

牛頓力學分析嘅例子：人用力推個櫃，形成紅色嗰股力，同時地板對個櫃有股摩擦力（藍色箭咀）而呢兩股力方向相反，傾向會互相抵消。

内文：向量

向量（英文：vector ）係線性代數入便最基礎嘅概念之一。由直觀嘅幾何學睇，向量係有方向亦有長度嘅量。喺物理學上，牛頓力學剖析物體嘅郁動嗰陣，就時常都會用到向量：速度會有個值表示嚿物體幾快，亦要有個方向表示物體向邊度郁緊；力會令到速度改變，亦要有個方向表示股力係施向邊個方向嘅... 等等。喺坐標幾何裡便，分析者會用一組數值嚟表達向量，例如喺二維空間中，向量 $\mathbf {v}$ 可以寫做：

$\mathbf {v} =(x,y)$ 或者 ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

呢組數講嘅係：由起點出發，喺 x 軸行幾遠，喺 y 軸行幾遠。

向量呢個概念仲有得廣義化，唔淨只係講有方向又有長度嘅量咁簡單。

向量空間

内文：向量空間

線性映射

内文：線性映射

矩陣

内文：矩陣

線性代數成日會講到線性變換。呢種變換可以想像成係將空間裡便嘅向量「郁動」或者「變形」，可以用矩陣（英文：matrix ）嚟表達。

睇埋

• 向量
• 矩陣
• 數值線性代數
• 特徵向量
• 線性回歸
• 單純形法
• 線性規劃
• 變換矩陣

詞彙

重要詞彙嘅英文嗌法：

外拎

• （英文）線性代數 講義碌士，University of Oxford