幾何學

幾何學會思考形狀、線同角度等嘅特性。

幾何學（粵拼：gei2 ho4 hok6；英文：geometry；古希臘文：γεωμετρία ，geometria）係數學嘅一個子領域，專門思考有關形狀、物體嘅相對位置以及空間嘅特性等嘅課題。幾何學理論以點、直線、平面、角以及維度等嘅概念為基礎，會用數學證明嘅方法，證明描述呢啲概念嘅定理，靠噉嚟增進人類對呢啲概念－以及呢啲概念相應嘅現實世界物體－嘅理解。

幾何學歷史悠久：公元前嘅古希臘等多個遠古文明都有獨立噉建立幾何學方法諗長度、面積同容量等嘅概念，用嚟做設計建築等嘅多種用途；形式化嘅幾何學源於古希臘－喺公元前 3 世紀，古希臘數學家歐幾里得（Euclid）喺佢本名著《幾何原本》（Elements）當中用公理化嘅方法證明咗多條幾何學上嘅定理，為後世嘅幾何學研究奠定咗一個重要嘅根基。而中世紀（5 至 15 世紀）及打後嘅數學家亦一直有將幾何學再發展上去。

喺廿一世紀初，幾何學知識相當有影響力，喺好多科學同工程學領域上都相當有用，例如：古典力學喺分析物體嘅移動嗰陣，成日都會用到距離同速率等建基於幾何學嘅概念；電腦圖像泛指用電腦整嘅圖像，而一部電腦整 3D 模型嗰時要做運算，中途用到「個模型呢條呢條邊有幾長」同「個模型呢隻呢隻角有幾大」噉嘅資訊；建築學研究建築物嘅設計，會對建築物作出幾何分析－建築物唔同部位嘅角度同長度會影響棟建築物穩唔穩陣... 呀噉。

空間基礎

幾何學係研究空間嘅數學子領域。「『空間』呢個概念要點定義」係一條可以幾撈絞嘅問題，不過喺最基本（歐幾里得幾何）上，空間可以用點、直線同埋平面等嘅概念想像。

0 維：點

平面上面嘅一拃點；每粒點都可以想像成「塊平面」呢個集入面嘅一個元素。

點係幾何學上嘅一個原始諗法：

• 簡化噉講，點可以定義做「喺空間裡面有確切位置、唔佔用空間嘅嘢」，冇長度同闊度；
• 技術性啲噉講，現代數學有咗集合論，而喺呢套理論框架下，點通常俾人定義做「一個集（空間）入面嘅其中一件元素」，例如想講一塊平面上面嘅一點，首先就會定義塊平面係

  $\mathbb {R} ^{2}=\{(a,b):a,b\in \mathbb {R} \}$，

塊平面上嘅一點 $p$ 就係 $\mathbb {R} ^{2}$ 入面嘅元素；用日常用語講嘅話，即係 $p$ 可以寫做 $(a,b)$，當中 $a$ 同 $b$ 都係實數（$\mathbb {R}$）。值得一提嘅係，點原則上係一個抽象化嘅概念，淨係存在喺人嘅想像之中－理論上嘅點係冇長度同闊度嘅，而當一個人攞支筆畫一粒肉眼睇得到嘅點嗰陣（好似下圖噉），嗰點查實經已有返咁上下長度同闊度，所以人先可以用肉眼睇得到，嚴格嚟講唔可以算係一點，頂嗮攏只可以算係攞嚟表示一點嘅符號。

點係幾何學最根基嘅諗頭－有咗點嘅概念，就有得定義同闡述第啲重要嘅幾何學概念同諗法，例如「是但兩點之間，都可以畫條獨一無二嘅線」呢條公理噉。

1 維：直線

直線係幾何學想像中一種「冇闊度、有長度嘅嘢」，當中「直」係指「上面啲點均勻噉分佈嘅線」：

• 攞住點嘅概念，想像攞是但兩點 $A$ 同 $B$，喺 $A$ 同 $B$ 之間有無限咁多粒點，嗰啲點之間每對點之間嘅距離都係恆定嘅（$=0$）；
• 用集合論嘅角度嚟睇嘅話，一條線可以想像成由一大拃點組成嘅集－精確啲講，喺現代幾何學入面，直線通常俾人定義做「喺個線性空間入面，有某種線性關係嘅點集」；是但攞一粒點 $p$ 同一條線 $\ell$ 嚟睇，「$p$ 喺 $\ell$ 上面」或者「$p$ 唔喺 $\ell$ 上面」都會係有意義嘅句子－句嘢一係真一係假。
• 平面入面嘅直線有個性質，就係是但搵兩點，嗰兩點都可以用一條直線連接（睇返歐幾里得幾何嘅第一公理），而且喺所有「能夠連接兩點嘅線」之中直線係長度最短嘅；

好似下圖噉就係一條「線」－下圖條線實質上有闊度（如果唔係就唔會用肉眼睇得到），所以只係一個用嚟表示一條線嘅符號。

喺歐幾里得幾何入面，兩條直線之間可以有交點（intersection；一粒同時屬嗰兩條線嘅點），又可以有平行（parallel）嘅關係－如果話兩條線係平行嘅，意思係話無論將嗰兩線延長幾多都好，兩條線都唔會有交點。好似下圖噉，下圖有三條線 $t$、$r$ 同 $s$，當中 $t$ 同 $r$ 喺 ABCD 嗰點（頂點）相交，而 $t$ 同 $s$ 喺 EFGH 嗰點（都係頂點）相交，$r$ 同 $s$ 平行：

直線仲可以掕埋「曲線」嘅概念：曲線係一種幾何物體；同直線一樣，曲線可以想像成由兩點之間嘅點組成嘅集，不過曲線「可能係唔直嘅」嘅（好似下圖噉）；技術性啲噉講，曲線可以想像成直線嘅廣義化－「線」可以包嗮所有「由兩點之間嘅點組成嘅集」，而直線就計係線嘅一種，特指「上面啲點均勻噉分佈嘅線」。

2 維：平面

喺歐幾里得幾何裏面，一塊平面係一塊 2D 而且冇曲率嘅幾何物體，有長度同闊度但冇高度，（最少理論上）可以向住任何方向無限噉延伸。如果用最常用嗰隻坐標系統嚟諗嘅話，平面同直線嘅分別可以想像成「要用幾多個數先可以描述一點嘅位置」（睇埋維度同坐標等嘅概念）－

• 如果要描述一點喺條線上面邊個位，淨係要用一個數，例如 $(x)$，所以係一維（1D）；
• 而如果要描述一點喺塊平面上面邊個位，就要用兩個數至得，例如 $(x,y)$，所以係二維（2D）；

下圖係互相成平行嘅三塊平面（想像三塊平面都冇高度－即係無限咁薄）：

歐幾里得研究嘅幾何好大部份都係喺平面入面發生嘅幾何（即係所謂嘅平面幾何），包括咗平面上面嘅三角形、圓形、平行線同角度呀噉。而根據呢套研究，平面有好多特別嘅性質：

• 是但攞兩塊唔同嘅平面，佢哋一係彼此成平行、一係就會係某條線嗰度相交；
• 是但攞一塊平面同一條線，條線一係同塊平面成平行、一係會喺某點同塊平面相交、再唔係就可能喺塊平面上面；
• 如果有兩條唔同嘅線，兩條都係同一塊平面成垂直（簡化講就係成 90° 角），噉兩條線實係平行嘅；
• 如果有兩塊平面都同某條線成垂直，噉兩塊平面實係成平行嘅；

... 呀噉。

兩塊相交兼成垂直嘅平面  線 $\ell$ 同平面 $A$ 成垂直。  線 ${\text{S}}$ 同啲平面成垂直，啲平面彼此平行。

圓形係一種 2D 嘅形狀；一個圓形條邊上面嘅每一點 $(x,y)$ 都會滿足以下條式－
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
當中 $(a,b)$ 係個圓心嘅坐標值，而 $r$ 係個圓形嘅半徑有幾長。

一去到 2D，就可以諗埋角嘅概念：是但攞一點（例如下圖嘅 $A$），由嗰點向住兩個方向（例如下圖嘅 $C_{1}$ 同 $C_{3}$）各射一條直線出去嘅話，兩條射線之間就會形成一隻角（下圖 $\alpha _{2}$），而角度就係一隻角可以有嘅特性，反映隻角「有幾大」；喺實際嘅幾何分析上，一隻角通常會用 $\angle$ 嘅符號嚟表示，下圖嘅 $\alpha _{2}$ 會寫做 $\angle C_{1}AC_{3}$ 噉嘅樣，而且會用噉嘅符號表示啲角嘅大細－$\angle ABC=90$ 表示「$\angle ABC$ 呢隻角係 90° 咁大」... 如此類推。

3 維或以上

有咗點、直線、曲線、平面同角呢啲基本概念，研究者就可以對現實世界嘅空間做出基本嘅分析：3D 空間指笪空間入面嘅每個可能點都要有三個數 $(x,y,z)$，先可以講明佢喺邊個位－人類日常生活當中會接觸到嘅世界，就可以想像成一笪 3D 空間，有三條完全直嘅軸；响呢笪 3D 空間裏面，

• 每件物體都有長度、闊度同高度表示佢「掗咗幾多空間」，
• 每件物體都可以沿三條軸郁動－可以有前後左右上下一共六個方向；

一笪 3D 空間會有好多點，可以有直線、曲線同平面，而線之間或者平面之間（或者線同平面之間）可以有角度。

一個球體；當中 $r$ 係個球體嘅半徑。  一個立方體；定義上，一個立方體每條邊都一樣咁長，而且是但搵其中兩條邊睇，嗰兩條邊都成直角。  3D 空間嘅旋轉動畫；喺一笪 3D 空間入面，一點嘅位置可以表示做 $(x,y,z)$ 噉嘅樣，當中每個數表示嗰點沿其中一條軸嘅位。

對 3D 或以上維度嘅空間嘅分析好有用。幾何學家會用數學證明嘅方法，探究點、線同埋空間有咩特性，而第啲領域嘅工作者就可以攞住呢啲知識去做嘢：喺廿一世紀初嘅多數工程學應用上，分析空間嘅特性可以齋靠「將空間想像成笪 3D 空間，而且每個位置都可以用實數坐標表示」就搞得掂－呢種分析可以攞嚟分析交通工具（汽車等嘅嘢郁動，就係改變喺空間入面嘅位置）同建築物（一棟建築物會有長度、闊度同高度）等工程學上會想分析嘅嘢；古典物理學上嘅分析可以齋靠 3D 就搞得掂，而進階嘅物理學－例如廣義相對論－仲會用到多過三個維度嚟描述時空。

理論基礎

呢段動畫描述古希臘數學家歐幾里得點樣齋靠間尺同圓規嚟畫出一個正六角形。左上角個數字表示幅圖係顯示緊第幾個步驟。

幾何學理論基礎（foundations of geometry）係指嘗試用公理化嘅方式推導出一套有系統嘅幾何學嘅數學研究。喺建立幾何學理論嗰陣，數學家希望做到齋靠以下幾樣嘢砌出一個內部一致（即係唔能夠由個理論嗰度推導出邏輯性矛盾）嘅理論：

• 原始諗法（primitive notion）：即係一啲最基本、唔使定義嘅概念，例如點同直線等嘅概念喺歐幾里得嗰套幾何理論當中係原始諗法，而唔係原始諗法嘅概念就要用原始諗法嚟定義，例如「兩條線嘅相交點」會用點以及直線呢兩個概念嚟定義；
• 公理（axiom）：即係一啲描述原始諗法、被認為係不證自明嘅陳述式，而且唔能夠由第啲公理嗰度推理出嚟，例如「是但搵任何兩點，都有可能畫條通過呢兩點嘅直線」就係歐幾里得嗰套幾何理論嘅其中一條公理，即係歐幾里得認為呢句嘢好明顯，唔使證明都可以當係真確；
• 邏輯上嘅定律；

數學家一般都希望一套幾何學理論所用嘅原始諗法同公理數量有咁少得咁少（可以睇埋奧坎剃刀）；喺有咗啲原始諗法同公理之後，數學家就會做數學證明，嘗試由公理同邏輯上嘅定律嗰度證明新嘅定理，最後呢啲公理同定理就形成一套幾何理論。喺廿一世紀，有唔少數學家仲喺度思考（例如）有冇方法可以用某啲被認公理嘅陳述式嗰度，推理出第啲被認為係公理嘅陳述式，諗住噉做可能幫到手建立一套用嘅公理數量更加少嘅幾何理論。

歐幾里得公理

歐幾里得幾何（Euclidean geometry）係由著名古希臘數學家歐幾里得諗出嚟嘅一套幾何學，亦係公元頭嗰兩個千年內嘅標準幾何學。响佢本名著《幾何原本》（Elements）裏面，歐幾里得提出咗五條公理，以「假設咗呢五條公理係真確」做前提嚟諗幾何學：

1. 是但搵兩點 $a$ 同 $b$ 嚟睇，嗰兩點之間都可以有條獨一無二嘅直線將兩點連接埋一齊。
2. 一條直線（最少理論上）可以無限噉延長。
3. 有咗「圓心」同「直徑」呢兩樣資訊，就可以建構一個圓形。
4. 所有嘅直角冚唪唥都係一個板嘅。
5. 平行公設（parallel postulate）：是但搵條線 $L$ 同點 $p$，當中 $p$ 唔喺 $L$ 上面，都實會有一條獨一無二嘅直線會係通過 $p$ 得嚟又唔會同 $L$ 相交嘅－即係話呢條線同 $L$ 平行。而如果兩條線之間唔係平行，噉兩條線無限延長最後實會令到兩條線相交（好似下圖噉）。

然後歐幾里得就攞住呢五條公理、用數學證明嘅方法證明嗮當時已知嘅幾何學定理。喺歐幾里得之後，仲有數學家試過對呢拃公理嘅具體定義作出修改－即係將條公理嘅定義改做比較清楚易明嘅形式，但改前改後拃公理都係可以攞嚟證明已知嘅幾何定理嘅。

重要概念

大細

長度（length；$l$）、面積（area；$A$）同體積（volume；$V$）都係講緊一嚿幾何物體嘅「大細」（掗咗幾多空間），不過係講緊唔同維度嘅大細－1D 嘅物體，例如直線、射線同曲線呢啲物體嘅大細，就叫長度；呢個數值可以大致想像成「反映緊條線由幾多粒點組成（亦可以睇返集合）」，條線有嘅點數量愈多，長度數值就愈高。如果嚿物體係 2D 或者以上嘅話：

• 面積係三角形、圓形同曲面等 2D 物體可以有嘅特性，每種主要 2D 物體嘅面積都有條特定嘅式計－
  • 長方形：$A=ab$，當中 $a$ 同 $b$ 係個長方形嘅長度同闊度。
  • 圓形：$A=\pi r^{2}$，當中 $\pi$ 係圓周率而 $r$ 係個圓形嘅半徑。
  • 三角形：$A=(1/2)(bh)$，當中 $b$ 係底嗰條邊嘅長度而 $h$ 係高度... 等等。

一個長方形  一個圓形  一個三角形

• 一嚿 3D 物體塊表面可以有面積，而嚿物體本身可以有體積，反映佢嘅大細；同 2D 一樣，每種主要 3D 物體嘅體積都有條特定嘅式計－
  • 正方體：$V=a^{3}$，當中 $a$ 係個正方體嘅邊有幾長（正方體定義上就係條條邊一樣咁長嘅）。
  • 球體：$V=(4/3)\pi r^{3}$，呢度 $\pi$ 係圓周率而 $r$ 係個球體嘅半徑。
  • 圓柱體：$V=\pi r^{2}h$，當中 $r$ 係個（呈圓形嘅）底嘅半徑而 $h$ 係個柱體嘅高度... 等等。

一個正方體  一個球體  一個圓柱體

好似上述噉嘅公式可以攞嚟計啲簡單嘅形狀嘅面積同體積。至於複雜啲嘅形狀嘅面積同體積要點計，可以睇吓（黎曼）積分同勒貝格積分等嘅課題。順帶一提，喺高等嘅數學入邊（大學或以上），好多時啲人或者啲書會將長度、面積同體積等嘅概念一律統稱做體積（volume），唔理佢嘅維度係乜都照樣噉叫。

對稱

對稱（symmetry）係數學物體可以有嘅一種特性。嚴格噉講，如果話一嚿數學物體係對稱嘅，意思即係話嚿物體經歷咗反射同轉動等嘅轉換，嚿物體都唔會變。舉例說明，鏡射係最基本嗰種對稱，指一嚿物體就算經歷咗反射（reflection）都唔會變樣：簡化噉講，反射可以想像成

• 攞一個形狀（例如下圖嘅三角形 $abc$）同一條線（同一幅圖條 Y 軸），條線就叫做反射軸；
• 喺條線嘅另一邊建構個新嘅形狀（三角形 $a'b'c'$）；
• 原本個形狀嘅每一點 $p_{0}$，都喺新形狀度有個對應點 $p_{1}$，而且
• 是但攞對噉嘅兩點嚟睇，「$p_{0}$ 同反射軸之間嘅距離」等同「$p_{1}$ 同反射軸之間嘅距離」。

想像有件物體經歷咗反射，佢反射前個形狀反射後嘅形狀完全一樣（除咗位置之外），噉件物體就算係具有鏡射嘅對稱特性。進階啲嘅對稱分析，仲有講到轉動對稱（rotational symmetry；指件物體就算經歷若干角度嘅轉動都唔會變樣，例子可以睇吓三曲腿圖嘅 3-重轉動對稱）等嘅進階對稱類型。

對稱呢個概念，視覺藝術成日都會用到－好多人都認為對稱嘅物件好有美感，例如建築設計就好興將啲建築物設計到左右對稱噉嘅樣。

三角形 $abc$ 沿 Y 軸反射，得出 $a'b'c'$ 呢個新嘅三角形。  呢個梯形有左右鏡射對稱特性。  隻蝴蝶（金鳳蝶）大致左右鏡射對稱。

上圖件物體轉動咗 $\alpha$ 咁多角度。  三曲腿圖有 3-重轉動對稱－如果將幅圖慢慢順時針轉，由 0° 去 360° 之間會有三次「幅圖同開始嗰陣一樣樣」。  印度阿格拉嘅泰姬陵（Taj Mahal）座主陵墓好出名，畀好多人覺得好靚，亦都係世上最左右對稱嘅建築物之一。

形狀相似

全等同相似都係用嚟講兩個物件有幾類似嘅概念，喺平面幾何入邊，相似就係話兩件物件嘅形狀相同，而全等就係話佢哋形狀同大細都相同。喺球面同雙曲幾何入邊係無相似三角形嘅概念嘅，只有全等三角形。

囂拔喺將幾何公理化嗰陣，將全等當成一個無定義名詞，並用公理去刻劃佢嘅性質。變換幾何學推廣咗全等同相似嘅概念，研究喺唔同嘅變換之下邊啲幾何性質係唔變嘅。

子領域

一場保角映射；雖然有啲直線變咗曲線，但如果兩條直線原本係成直角嘅話，出嚟嘅兩條曲線都會成直角。

• 歐幾里得幾何
• 非歐幾里得幾何
• 解析幾何
• 微分幾何
• 拓撲學

應用

科學工程

• 古典力學
• 光學
• 電腦圖像
• 測量

視覺藝術

• 畫畫
• 建築設計

睇埋

• 數學
• 數學分析
• 向量空間
• 物理學
• 相對論
• 測度
• 量度
• 黃金比例
• 自然形態規律

文獻

• Boyer, C.B. (1991) [1989]. A History of Mathematics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Cooke, Roger (2005). The History of Mathematics. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-44459-6.
• Hayashi, Takao (2003). "Indian Mathematics". In Grattan-Guinness, Ivor (ed.). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. Vol. 1. Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press. pp. 118–130. ISBN 978-0-8018-7396-6.
• Hayashi, Takao (2005). "Indian Mathematics". In Flood, Gavin (ed.). The Blackwell Companion to Hinduism. Oxford: Basil Blackwell. pp. 360–375. ISBN 978-1-4051-3251-0.
• Jay Kappraff (2014). A Participatory Approach to Modern Geometry. World Scientific Publishing. doi:10.1142/8952. ISBN 978-981-4556-70-5.
• Leonard Mlodinow (2002). Euclid's Window - The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace (UK ed.). Allen Lane. ISBN 978-0-7139-9634-0.
• Nikolai I. Lobachevsky (2010). Pangeometry. Heritage of European Mathematics Series. Vol. 4. translator and editor: A. Papadopoulos. European Mathematical Society.

拎

• Geometry. Encyclopedia Britannica.
• Geometry. Wolfram MathWorld.
• Unusual Geometry Problems.
• The Math Forum - Geometry.
  • The Math Forum - K-12 Geometry.
  • The Math Forum - College Geometry.
  • The Math Forum - Advanced Geometry.
• Finitism in Geometry at the Stanford Encyclopedia of Philosophy.