空間

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用嚟描述空間嘅3D座標系統

空間hung1 gaan1哲學家科學家研究對象,佢好難落到一個定義。空間係咪可以度到都係一個爭論點。唔同科有唔同定義,不過多數都用操作定義,即係定義量度單位。

幾何概念[編輯]

平面上面嘅一拃點;每粒點都可以想像成「塊平面」呢個入面嘅一個元素
內文:幾何空間 (數學)
睇埋:維度

幾何學係研究空間數學子領域。「『空間』呢個概念要點定義」係一條可以幾撈絞嘅問題,不過喺最基本(歐幾里得幾何)上,空間可以用直線同埋平面等嘅概念想像。

0D:點[編輯]

內文:點 (幾何)
睇埋:0D 空間

係幾何學上嘅一個原始諗法

  • 簡化噉講,點可以定義做「喺空間裡面有確切位置、唔佔用空間嘅嘢」,冇長度闊度[註 1]
  • 技術性啲噉講,現代數學有咗集合論,而喺呢套理論框架下,點通常俾人定義做「一個空間)入面嘅其中一件元素」,例如想講一塊平面上面嘅一點,首先就會定義塊平面係[1]

塊平面上嘅一點 就係 入面嘅元素;用日常用語講嘅話,即係 可以寫做 ,當中 都係實數)。值得一提嘅係,點原則上係一個抽象化概念,淨係存在喺人嘅想像之中:理論上嘅點係冇長度同闊度嘅,而當一個人攞支筆畫一粒肉眼睇得到嘅點嗰陣(好似下圖噉),嗰點查實經已有返咁上下長度同闊度,所以人先可以用肉眼睇得到,嚴格嚟講唔可以算係一點,頂嗮攏只可以算係攞嚟表示一點嘅符號[2]

Point graphe.jpg

點係幾何學最根基嘅諗頭-有咗點嘅概念,就有得定義同闡述第啲重要嘅幾何學概念同諗法,例如「是但兩點之間,都可以畫條獨一無二嘅線」呢條公理[註 2][2]

1D:直線[編輯]

內文:直線
睇埋:1D 空間同埋間尺

直線係幾何學想像中一種「冇闊度、有長度嘅嘢」,當中「直」係指「上面啲均勻噉分佈嘅線」:

  • 攞住點嘅概念,想像攞是但兩點 ,喺 之間有無限咁多粒點,嗰啲點之間每對點之間嘅距離都係恆定嘅();
  • 集合論嘅角度嚟睇嘅話,一條線可以想像成由一大拃點組成嘅-精確啲講,喺現代幾何學入面,直線通常俾人定義做「喺個線性空間入面,有某種線性關係」;是但攞一粒點 同一條線 嚟睇,「 上面」或者「 唔喺 上面」都會係有意義嘅句子-句嘢一係一係
  • 平面入面嘅直線有個性質,就係是但搵兩點,嗰兩點都可以用一條直線連接(睇返歐幾里得幾何嘅第一公理),而且喺所有「能夠連接兩點嘅線」之中直線係長度最短嘅;

好似下圖噉就係一條「線」-下圖條線實質上有闊度(如果唔係就唔會用肉眼睇得到),所以只係一個用嚟表示一條線嘅符號[3]

Lineline.jpg

歐幾里得幾何入面,兩條直線之間可以有交點(intersection;一粒同時屬嗰兩條線嘅點),又可以有平行(parallel)嘅關係-如果話兩條線係平行嘅,意思係話無論將嗰兩線延長幾多都好,兩條線都唔會有交點[4]。好似下圖噉,下圖有三條線 ,當中 喺 ABCD 嗰點(頂點)相交,而 喺 EFGH 嗰點(都係頂點)相交, 平行:

Adyacentes.jpg

直線仲可以掕埋「曲線」嘅概念:曲線係一種幾何物體;同直線一樣,曲線可以想像成由兩點之間嘅點組成嘅集,不過曲線「可能係唔直嘅」嘅(好似下圖噉);技術性啲噉講,曲線可以想像成直線廣義化-「線」可以包嗮所有「由兩點之間嘅點組成嘅集」,而直線就計係線嘅一種,特指「上面啲點均勻噉分佈嘅線」[5]

Curva Simples.png

2D:平面[編輯]

內文:平面
睇埋:曲面同埋2D 空間

喺歐幾里得幾何裏面,一塊平面係一塊 2D 而且冇曲率[註 3]嘅幾何物體,有長度闊度但冇高度,(最少理論上)可以向住任何方向無限噉延伸。如果用最常用嗰隻坐標系統嚟諗嘅話,平面同直線嘅分別可以想像成「要用幾多個數先可以描述一點嘅位置」(睇埋維度坐標等嘅概念)[6]

  • 如果要描述一點喺條線上面邊個位,淨係要用一個數,例如 ,所以係一維1D);
  • 而如果要描述一點喺塊平面上面邊個位,就要用兩個數至得,例如 ,所以係二維2D);

下圖係互相成平行嘅三塊平面(想像三塊平面都冇高度-即係無限咁薄):

Planes parallel.svg

歐幾里得研究嘅幾何好大部份都係喺平面入面發生嘅幾何(即係所謂嘅平面幾何),包括咗平面上面嘅三角形圓形平行線角度呀噉。而根據呢套研究,平面有好多特別嘅性質[7][8]

  • 是但攞兩塊唔同嘅平面,佢哋一係彼此成平行、一係就會係某條線嗰度相交
  • 是但攞一塊平面同一條線,條線一係同塊平面成平行、一係會喺某點同塊平面相交、再唔係就可能喺塊平面上面;
  • 如果有兩條唔同嘅線,兩條都係同一塊平面成垂直(簡化講就係成 90° ),噉兩條線實係平行嘅;
  • 如果有兩塊平面都同某條線成垂直,噉兩塊平面實係成平行嘅;

... 呀噉。

圓形係一種 2D形狀用坐標諗嘅話,一個圓形條邊上面嘅每一點 都會滿足以下條式-

當中 係個圓心嘅坐標值,而 係個圓形嘅半徑有幾長。

一去到 2D,就可以諗埋嘅概念:是但攞一點(例如下圖嘅 ),由嗰點向住兩個方向(例如下圖嘅 )各射一條直線出去嘅話,兩條射線之間就會形成一隻角(下圖 ),而角度就係一隻角可以有嘅特性,反映隻角「有幾大」;喺實際嘅幾何分析上,一隻角通常會用 嘅符號嚟表示,下圖嘅 會寫做 噉嘅樣,而且會用噉嘅符號表示啲角嘅大細- 表示「 呢隻角係 90° 咁大」... 如此類推[9]

01-Winkel addieren W1+W2.svg

3D 或以上[編輯]

內文:立體
睇埋:3D 空間歐幾里得空間同埋4D 空間

有咗直線曲線平面呢啲基本概念,研究者就可以對現實世界嘅空間做出基本嘅分析:3D 空間指笪空間入面嘅每個可能點都要有三個數 ,先可以講明佢喺邊個位-人類日常生活當中會接觸到嘅世界,就可以想像成一笪 3D 空間,有三條完全直嘅軸[註 4];响呢笪 3D 空間裏面,

  • 每件物體都有長度、闊度同高度表示佢「掗咗幾多空間」,
  • 每件物體都可以沿三條軸郁動-可以有前後左右上下一共六個方向

一笪 3D 空間會有好多點,可以有直線、曲線同平面,而線之間或者平面之間(或者線同平面之間)可以有角度。

對 3D 或以上維度嘅空間嘅分析好有用。幾何學家會用數學證明嘅方法,探究點、線同埋空間有咩特性,而第啲領域嘅工作者就可以攞住呢啲知識去做嘢:喺廿一世紀初嘅多數工程學應用上,分析空間嘅特性可以齋靠「將空間想像成笪 3D 空間,而且每個位置都可以用實數坐標表示」就搞得掂-呢種分析可以攞嚟分析交通工具汽車等嘅嘢郁動,就係改變喺空間入面嘅位置)同建築物(一棟建築物會有長度、闊度同高度)等工程學上會想分析嘅嘢;古典物理學上嘅分析可以齋靠 3D 就搞得掂,而進階嘅物理學-例如廣義相對論-仲會用到多過三個維度嚟描述時空[10]

註釋[編輯]

  1. 歐幾里得都係用呢個定義嘅。
  2. 喺數學上,公理係指「唔使證明、可以攞嚟證明第啲諗頭」嘅諗頭。
  3. 簡化噉講,一條線嘅曲率可以由「能夠貼切嗰條線嘅圓形直徑」嚟反映,而對應一條完美直線嘅圓形直徑會係無限大
  4. 嚴格啲講,呢種想像法啱唔嗮,不過呢種做法會引致嘅誤差微細到用肉眼根本睇唔到。詳情可以睇吓相對論方面嘅內容。

睇埋[編輯]

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  1. Euclid's Elements - All thirteen books in one volume, Based on Heath's translation, Green Lion Press.
  2. 2.0 2.1 Clark, Bowman L. (January 1985). "Individuals and Points". Notre Dame Journal of Formal Logic. 26 (1): 61-75.
  3. Coxeter, H.S.M (1969). Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons. p. 4.
  4. Wylie Jr., C. R. (1964), Foundations of Geometry, McGraw-Hill. pp. 92-94.
  5. Su, B. Q., & Liu, D. Z. (1989). Computational geometry: curve and surface modeling. Academic Press Professional, Inc..
  6. Szmielew, Wanda. From affine to Euclidean geometry: An axiomatic approach. Springer, (1983).
  7. Hadwiger, H., Debrunner, H., & Klee, V. (2015). Combinatorial geometry in the plane. Courier Corporation.
  8. Klee, V., & Wagon, S. (1991). Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory (No. 11). Cambridge University Press.
  9. Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Pearson Prentice Hall, p. 104
  10. Cajori, Florian (1926), "Origins of Fourth Dimension Concepts" , The American Mathematical Monthly, 33 (8): 397-406.

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