提示:呢篇文講嘅唔係
ㅿ或
Δ。
三角形係由三條線段順次首尾相連,組成嘅一個閉合嘅平面圖形,係最基本嘅多邊形。
一般用大寫英文字母、同為頂點標號。用小寫英語字母、同表示邊;、同或者頂點標號表示角。
- 中線:三角形一邊中點同呢邊所對定點嘅連線段。
- 高線:由三角形一個頂點向佢嘅對邊所作嘅垂線段。
- 角平分線:平分三角形一角、一個端點喺呢一角嘅對邊上嘅線段。
- 中垂線:通過三角形一邊中點同該邊所垂直嘅線段,又叫做垂直平分線。
- 三角不等式:
- 三角形兩邊嘅和大過第三邊,兩邊之差嘅絕對值小過第三邊。如果兩者相等,就係退化三角形。
- 三角形任意一個外角大過唔相鄰嘅一個內角。
- 畢氏定理(又叫做畢達哥拉斯定理)同埋勾股逆定理:
- 當直角三角形ABC嘅三頂點A、B、C所對嘅三邊分別為a、b、c,(當角C=90°)。
- 正弦定理(R係三角形外接圓半徑):
- 餘弦定理:
三角形兩隻內角嘅和,等於剩落嚟嘅一隻外角。
喺歐幾里德平面內,三角形嘅內角和等於180°。
鈍角三角形其中一隻角係鈍角(>90°)嘅三角形,其餘兩角都<90°。
銳角三角形嘅所有內角都係銳角(<90°)。
有一個角係直角(=90°)嘅三角形為直角三角形。
成直角嘅兩條邊稱為直角邊(cathetus),直角所對嘅邊係斜邊(hypotenuse);或最長嘅邊稱為弦,底部嘅一邊稱作勾(又作句),另一邊稱為股。
可以透過唁同角度嘅直角三角形各邊嘅比求得銳角三角函數。
等邊三角形(又叫正三角形),係三邊相等嘅三角形。三個內角相等,都係60°。佢係銳角三角形嘅一種。當佢嘅邊長係a,面積公式就係。
等邊三角形係正四面體、正八面體同正二十面體呢三個正多面體面嘅形狀。六個等邊三角形可以拼成一個正六邊形。
等腰三角形係三條邊中有兩條邊相等(或者其中兩隻內角相等)嘅三角形。等腰三角形中嘅兩條相等嘅邊被稱為腰,而另一條邊被稱為底邊,兩條腰交叉組成嘅嗰個點被稱為頂點,佢哋組成嘅角被稱為頂角。
等腰三角形嘅重心、中心同垂心都位於頂點向底邊嘅垂線上。
等腰三角形嘅底嘅垂直平分線,啱啱亦係對應角嘅角平分線。
等邊三角形係等腰三角形嘅一個特殊形式。
退化三角形係指面積係零嘅三角形。滿足下列條件之一嘅三角形就可以稱為退化三角形:三個內角嘅度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三邊其中一條邊嘅長度為0;一條邊嘅長度等於另外兩條嘅和。有人認為退化三角形唔算係三角形,咁係由於佢介乎於三角不等式之間,喺一啲資料中已否定咗其中一條邊等於其餘兩條邊嘅和嘅情況。
三角形具有穩定性,若果兩個三角形有以下嘅邊角關係,佢嘅形狀、大細就唔會變,兩個三角形就係全等三角形。
- SSS(Side-Side-Side、邊、邊、邊):各三角形嘅三條邊嘅長度都對應地相等。
- SAS(Side-Angle-Side、邊、角、邊):各三角形嘅其中兩條邊嘅長度對應地相等,而且兩條邊夾住嘅角對應地相等。
- ASA(Angle-Side-Angle、角、邊、角):各三角形嘅其中兩個角對應地相等,而且兩條邊夾住嘅邊對應地相等。
- RHS:喺直角三角形中,斜邊同埋另外一條直角邊對應地相等。
- AAS(Angle-Angle-Side、角、角、邊):各三角形嘅其中兩個角對應地相等,而且其中一組對應角嘅對邊亦對應地相等。
AAA(Angle-Angle-Angle、角、角、角)只可以保證兩個三角形相似,唔可以保證全等。SSA(Side-Side-Angle、邊、邊、角)亦唔可以保證兩個三角形全等。
當a、b係所知嘅兩邊,C係個夾角,三角形面積係。
,即底×高÷2。因為兩個相同嘅三角形砌到一個平行四邊形。
希羅公式(又稱海倫公式、海龍公式):
當p等於三角形三邊和嘅一半:
則
代入後就係:
秦九韶亦求過類似嘅公式,稱為三斜求積法:
基於希羅公式喺三角形擁有非常細嘅角度嗰時並唔係數值穩定,有一個變化嘅計法。當a ≥ b ≥ c,三角形面積為
由三個頂點構成嘅三角形,面積就係:
若果已知三角形面積為x,三邊邊長分別為a、b、c,s係三角形周長(a+b+c)內心半徑(r):
外心半徑(R):
喺三角形中,
三個角嘅正切同三邊有以下關係:
證明:
因為:
所以:
而:
所以:
即:
同理可得
當喺三角形中,已知三邊,,,若果三個角,
- ,嘅角平分線分別係,,
,就用三邊表示三條內角平分線長度公式為
垂心(藍)、形心(黃)同外心(綠)能連成一線,稱為歐拉線。
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星形 | |
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