畢氏定理

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畢達哥拉斯定理英文Pythagorean theorem;簡稱畢氏定理),又有叫勾股定理勾股弦定理或者商高定理,係指直角三角形兩條直角邊長度嘅平方嘅和等於斜邊長度嘅平方,即係數式

證明[編輯]

呢個定理有好多方法去證明,方法可能係數學眾多定理中最多嘅。路明思(Elisha Scott Loomis)嘅 Pythagorean Proposition 一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式(例如:正弦餘弦函數嘅泰勒級數)嚟證明畢氏定理,但係咁做會構成循環論證,所以唔用得,因為所有嘅基本三角恆等式都係建基於畢氏定理。

利用相似三角形嘅證法[編輯]

有好多畢氏定理嘅證明方式,都係基於相似三角形中兩邊長嘅比例

為一個直角三角形,直角係 角。由 點拉一條同 垂直嘅直線,直線同 嘅交叉點稱為 。呢個新三角形 同原本嘅三角形 都有一個直角同 呢個共同角,所以三個角都一樣,所以兩個三角形相似。同樣道理, 都係相似嘅。呢啲相似關係衍生出以下嘅比率關係:

因為

,同

所以

即係

綜合呢兩個方程式,可以得到

歐幾里得嘅證法[編輯]

《幾何原本》入面嘅證明

歐幾里得嘅《幾何原本》一書中畀出畢氏定理嘅以下證明。設 為一個直角三角形,其中 係直角。由 點劃一直線至對邊,令佢垂直於對邊。延長條線將對邊上嘅正方形一分為二,佢嘅面積分別同其餘兩個正方形相等。

喺定理嘅證明中,需要以下四個輔助定理:

  • 如果兩個三角形有兩組對應邊而呢兩組邊嘅夾角相等,兩個三角形就係全等(SAS定理)。
  • 三角形面積係同底同高嘅平行四邊形面積嘅一半。
  • 任意一個正方形嘅面積等於佢兩邊長嘅積。
  • 任意一個矩形嘅面積等於佢兩邊長嘅積(據輔助定理3)。

證明嘅思路係:將上方嘅兩個正方形,透過等高同底嘅三角形,以佢嘅面積關係,轉換成下方兩個同等面積嘅長方形。

證明輔助圖2

證明如下:

  1. 為一個直角三角形,直角係
  2. 個邊分別係 同埋 ,依次序畫成正方形
  3. 畫出穿過 點嘅 嘅平行線。條線會分別同 直角相交。
  4. 分別連接 ,形成兩個三角形
  5. 都係直角,因此 都係線性對應嘅, 都係一樣。
  6. 都係直角,所以 等於
  7. 因為 分別等於 ,所以 一定同 相等。
  8. 因為 成同一直綫,所以四邊形 面積係 兩倍。
  9. 因為 成同一直綫,所以正方形 面積係 兩倍。
  10. 因此,四邊形 嘅面積必定等如
  11. 同埋,四邊形 嘅面積必定等如
  12. 將呢兩個結果相加,
  13. 由於
  14. 由於 係正方形,因此

呢個證明係喺歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出嘅[1]

由於呢個定理嘅證明要靠平行公理,而且由呢個定理可以推出平行公理,好多人質疑平行公理係呢個定理嘅必要條件,一直到十九世紀嘗試否定第五公理嘅非歐幾里得幾何出現。

圖形重新排列證法[編輯]

以重新排列法證明

呢個證明咗以圖形重新排列證明。兩個大正方形嘅面積係 。將四個相等嘅三角形移除之後,左邊剩底嘅面積就係 ,右邊剩底嘅面積係 ,兩者相等。

畢氏定理嘅逆定理[編輯]

畢氏定理嘅逆定理係判斷三角形做鈍角、銳角或直角嘅一個簡單嘅方法,其中 係最長邊:

  • 如果 係直角三角形。
  • 如果 係銳角三角形。
  • 如果 係鈍角三角形。

參考[編輯]

  1. 《幾何原本》第1.47節(英文),歐幾里德著,2006年12月19號睇

睇埋[編輯]