對數

一條基本嘅$f(x)=\log _{2}x$。

對數係一種函數，佢係指數函數嘅反函數。對數係嚟自指數，指數函數嘅基本樣係$f(x)=a^{x}$，$a$係一個正實數。咁呢個圖就會穿過$(1,a)$，同埋x軸就係呢個圖嘅趨近線（asymptote）。因為指數函數係單對單函數，又係全射函數，所以佢就會有逆函數或者叫相反。而指數函數嘅相反就係對數，求出黎嘅方法可以參考下面。

對數有好多唔同嘅作用，其中最常見嘅就有搵出次方，同埋做數學建模去解決現實世界嘅問題。

定義

基本定義

如果利用簡介所提及嘅方法嚟搵對數，就要根據以下步驟：

1. 將$y=f(x)$：$y=a^{x}$
2. 將$x$同$y$交換：$x=a^{y}$
3. 求$y$：$y=?$

定義對數

設 $x>0$，$a>0$ 同埋 $a\neq 1$，對數函數（logarithmic function）$f(x)=\log _{a}x$符合：

「$y=\log _{a}x\iff x=a^{y}$」。

呢個函數嘅基數（base）就係 $a$。｢$\,\log _{a}x$｣ 一般會讀成「log base $a$ of $x$」（log 近音係「樂」）。

等價定義

根據以上呢個定義，$y=\log _{a}x$，$x=a^{y}$呢兩個表達係完全一樣。

一般會將$x=a^{y}$叫做指數表示（exponential form）；

另一個樣，$y=\log _{a}x$叫做對數表示（logarithmic form）。

例子

• $\log _{5}25=2\implies 5^{2}=25$
• $\log _{5}({\frac {1}{25}})=-2\implies 5^{-2}={\frac {1}{25}}$
• $9={\sqrt {81}}=81^{\frac {1}{2}}\implies \log _{81}9={\frac {1}{2}}$
• $16=4^{2}\implies \log _{4}16=2$

求絕對值

求一個對數嘅絕對值需要用到代數技巧。

例如求：$\log _{3}81$

1. 將求嘅數等於$x$：$x=\log _{3}81$
2. 利用等價定義轉返佢做指數表示：$3^{x}=81$
3. 解方程：$3^{x}=3^{4}\implies x=4$
4. 還原答案：$x=4=\log _{3}81$

例子：$\log _{5}({\frac {1}{5}})$

${\begin{aligned}x&=\log _{5}({\frac {1}{5}})\\5^{x}&={\frac {1}{5}}\\5^{x}&=5^{-1}\\x&=-1\\x=-1&=\log _{5}({\frac {1}{5}})\end{aligned}}$

普通對數同自然對數

有自然指數就自然有自然對數，佢哋基本大同小異，只不過自然對數個基數係歐拉數$e$。而一般情況普通對數個基數就係$10$，稱常用對數。

通常使用基數係$10$嘅情況，正常應該係要寫成$f(x)=\log _{10}x$咁，但係因為成日用嘅關係，多數人都會寫成$f(x)=\log x$咁，而唔寫基數就默認係$10$。

如果基數係歐拉數$e$，正常係應該要寫成$f(x)=\log _{e}x$咁，但係好多時除咗$10$之後都要用埋佢呢，數學家就發明咗個符號叫$\ln$，所以所有基數係$e$嘅對數函數，就會寫成$f(x)=\ln x$。呢個就係自然對數。

畫對數

因為對數係指數嘅逆函數，所以可以利用$y=x$反射$f(x)=a^{x}$得出$f(x)=\log _{a}x$。

如果$a>1$。

如果$a>1$就會得出上面呢張圖嘅樣，藍色線就係$f(x)=a^{x}$，將佢根據$y=x$，黑線，做一個反射就得出綠色線$f(x)=\log _{a}x$。

如果$0<a<1$。

如果$0<a<1$就會得出上面呢張圖嘅樣，藍色線就係$f(x)=a^{x}$，將佢根據$y=x$，黑線，做一個反射就得出綠色線$f(x)=\log _{a}x$。

以下呢個表可以比較指數同對數函數嘅相似同唔同之處：

指數函數 $y=a^{x}$	對數函數 $y=\log _{a}x$
$y$軸相交點係$(0,1)$	$x$軸相交點係$(1,0)$
函數域（Domain）係$(-\infty ,\infty )$	函數域（Domain）係$(0,\infty )$
Range係$(0,\infty )$	Range係$(-\infty ,\infty )$
趨近線係$x$軸	趨近線係$y$軸

對數應用

對數可以做好多現實中嘅應用，以下舉出幾個出名嘅應用：

分貝

分貝（decibel）係量度噪音程度嘅單位。佢係利用對數呢個概念。

分貝值喺數學上定義為：$D=10\log {\bigl (}{\frac {I}{I_{T}}}{\bigr )}$

式入面嘅 $D$ 就係分貝值，單位係 dB。$I$ 就每平方米嘅聲音強度，單位係瓦特（watt）。$I_{T}$ 就係人最低可以聽到嘅噪音強度。平均嚟講，一般人最低可以聽到最低噪音係 $1\times 10^{-12}\ {\text{W}}\!/{\text{m}}^{2}$。

黎克特制

黎克特制（Richter scale）係用嚟量度地震強度。

計算呢個強度嘅公式係：$M={\frac {2}{3}}\log({\frac {E}{E_{0}}})$，

當中 $M$ 係強度，$E$ 係地震震波強度，$E_{0}$ 係地震所釋出嘅能量。

pH值

喺化學入邊，pH值亦即係酸鹼度係用對數嚟定義嘅。

ph值公式：${\textrm {pH}}=-\log _{10}[{\textrm {H}}^{+}]$，

當中 $[{\textrm {H}}^{+}]$ 係氫離子嘅濃度。

睇埋

• 自然對數
• 指數
• 指數定律
• 對數定律