對數定律

對數定律（Properties of Logarithms）係一套對應指數定律嘅定理。主要用嚟解指數對數方程。

定律

設 $a$ ， $M$ 同 $N$ 都係一個正數，而且 $a\neq 1$ ，重有 $x$ 係未知數。有以下實數解：

$\log _{a}1=0$
$\log _{a}a=1$
$\log _{a}a^{x}=x$
$a^{\log _{a}x}=x,x>0$
$\log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N$
$\log _{a}{\bigl (}{\frac {M}{N}}{\bigr )}=\log _{a}M-\log _{a}N$
$\log _{a}M^{N}=N\log _{a}M$

證明：

(1)

利用定義， $a^{0}=1\iff \log _{a}1=0$ 。

(2)

利用定義， $a^{1}=a\iff \log _{a}a=1$ 。

(3)

利用定義， $a^{x}=a^{x}\iff \log _{a}a^{x}=x$ 。

(4)

利用定義， $\log _{a}x=\log _{a}x\iff a^{\log _{a}x}=x$ 。

(5)

利用指數定律， $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ 。

根據定義， $\log _{a}M=m$ ， $\log _{a}N=n$ 。

組合以上兩點， ${\begin{aligned}\log _{a}MN&=x\\a^{x}&=MN\\a^{x}&=a^{m}a^{n}\\\implies x&=m+n\\\log _{a}MN&=\log _{a}M+\log _{a}N\end{aligned}}$ 。

(6)

利用指數定律， $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$ 。

根據定義， $\log _{a}M=m$ ， $\log _{a}N=n$ 。

組合以上兩點， ${\begin{aligned}\log _{a}{\bigl (}{\frac {M}{N}}{\bigr )}&=x\\a^{x}&={\frac {M}{N}}\\a^{x}&=a^{m}\div a^{n}\\\implies x&=m-n\\\log _{a}{\frac {M}{N}}&=\log _{a}M-\log _{a}N\end{aligned}}$ 。

(7)

利用指數定律， $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ 。

根據定義， $\log _{a}M^{n}=y$ 。

組合以上兩點， ${\begin{aligned}n\log _{a}M&=x\\\log _{a}M&={\frac {x}{n}}\\a^{\frac {x}{n}}&=M\\(a^{\frac {x}{n}})^{n}&=M^{n}\\a^{x}&=a^{y}\\\implies x&=y\\n\log _{a}M=\log _{a}M^{n}\end{aligned}}$ 。

一般基數同自然基數分別

以下呢個表可以比較一般數字做基數同自然基數嘅分別：

常用基數（ $f(x)=\log _{10}x$ ）	自然基數（ $f(x)=\ln x$ ）
$\log 1=0$	$\ln 1=0$
$\log 10=1$	$\ln e=1$
$\log 10^{x}=x$	$\ln e^{x}=x$
$10^{\log x}=x,x>0$	$e^{\ln x}=x,x>0$

換基數

換基數（Change of Base）就係將 $\log$ 嘅基數轉換嘅公式。

「 $\log _{a}M={\frac {\log _{b}M}{\log _{b}a}}$ 」

如果將以上公式轉去 $10$ 做基數：

「 $\log _{a}M={\frac {\log M}{\log a}}$ 」

如果將以上公式轉去 $e$ 做基數：

「 $\log _{a}M={\frac {\ln M}{\ln a}}$ 」

證明：

根據定義， $\log _{a}M=x$ 。

${\begin{aligned}\log _{a}M&=x\\a^{x}&=M\\\log _{b}a^{x}&=\log _{b}M\\x\log _{b}a&=\log _{b}M\\x&={\frac {\log _{b}M}{\log _{b}a}}\\\log _{a}M&={\frac {\log _{b}M}{\log _{b}a}}\end{aligned}}$