函數

函數（粵拼：haam4 sou3，英文：Function），係數學術語，指每個輸入值對應唯一輸出值嘅對應關係。

輸入嘅範圍叫定義域，輸出嘅範圍叫值域。

例如有個函數$f$，輸入 $x$ 會輸出佢嘅平方 $x^{2}$，呢個函數就可以寫做 $f(x)=x^{2}$。如果輸入值係 $-3$，輸出值就會係 $9$，符號上就可以寫做 $f(-3)=9$。

真正定義嘅函數每一個原像只會出一個影像。

奇函數同偶函數

對於所有實數 $x\in \mathbb {R}$ 都符合 $f(-x)=-f(x)$ 嘅函數 $f(x)$ 稱為「奇函數」（odd function）。例如：

• $x^{5}+x^{3}+x$
• $\sin(x)$

相反，對於所有實數 $x\in \mathbb {R}$ 都符合 $f(-x)=f(x)$ 嘅函數 $f(x)$ 稱為「偶函數」（even function）。例如：

• $x^{4}+x^{2}+1$
• $\cos(x)$

隱函數

即係輸出唔係主項。

例如圓方程 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 。

對應關係

函數可以有呢三種性質：單射、滿射、對射。

• 單射（injective），同一個輸出值只由唯一嘅輸入值對應到，即係輸出值冇重複。例如

$f(x)=4x+5:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 係單射函數、

$f(x)=x^{3}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 係單射函數 （注：$f(x)=x^{3}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ 唔係單射函數。）、

$f(x)=e^{x}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 係單射函數。

反例：$f(x)=x^{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 唔係單射函數，因為令 $f(x)=16$ 嘅 $x$ 多過一個（$f(4)=f(-4)=16$）；但 $f(x)=x^{2}:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R}$ 係單射函數。

反例：偶函數一定唔係單射。

• 滿射（surjective），所有值域入面嘅值都有被對應到。例如

函數 $f(x)=x^{3}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 嘅值域涵蓋所有實數，所以係滿射函數。

反例：函數 $f(x)=e^{x}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ，佢嘅輸出只涵蓋正實數，覆蓋唔到成個值域，所以唔係滿射函數；但 $g(x)=e^{x}:\mathbb {R} \rightarrow (0,+\infty )$ 係滿射函數。由呢兩個例子睇得出，想討論一個函數係咪滿寫嘅話，一定要講清楚個函數嘅值域。

• 對射（bijective）又叫雙射，既係單射又係滿射嘅函數，即係一一對應冇多冇少冇重複。當一個函數係對射函數，咁嗰個函數就有反函數。例子，對於實函數：

所有一次方程 $f(x)=ax+b:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \ ,\ (a\neq 0)$ 都係對射。

$f(x)=\ln(x):(0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R}$ 係對射函數。

反例：$f(x)=e^{x}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 唔係對射函數，因為只係單射，但唔係滿射；但 $f(x)=e^{x}:\mathbb {R} \rightarrow (0,+\infty )$ 則係對射函數，其反函數係 $f(x)=\log x:(0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R}$。

相關概念

偏函數

定義域入面，可以有啲元素冇對應。例如喺實數上面，$f(x)={\frac {1}{x}}$係一個偏函數，因爲喺$x=0$嗰點係無對應嘅，但係任何嘅偏函數都可以透過限制定義域嚟變成一個真正嘅函數，例如頭先個$f$噉，只要將定義域限制到$\mathbb {R} \setminus \{0\}$就變返個函數啦。

多值函數

多值函數唔係標準函數，對於一個畀定嘅輸入值，佢可以多過一個輸出。