間距
閱讀設定
間距(Interval)係數學入面嘅一個概念。因為實數()有排序性,所以可以分出一類子集叫做間距。間距喺研究數學分析入面係好重要嘅工具。
間距分類
[編輯]- 無界間距(Open Interval)
- 有界間距(Closed Interval)
而同係叫做界點(End Points)。重有其他一半有界有半無界嘅間距,同埋有啲無限無界間距同無限有界間距:
- 半有界半無界間距(Half-open / Half-closed)
- 無限無界間距(Infinite Open Intervals)
- 無限有界間距(Infinite Closed Intervals)
成立間距定理
[編輯]成立間距定理(Characterisation Theorem)係一條講佢間距嘅特性,同埋點樣成立一個間距。
如果係嘅實子集,同時最少有兩點,佢又符合以下性質
「如果同埋,咁樣。」
,就係一個間距。
證明:
需要證明四個唔同嘅分類。
- 係被綁定。
- 係被上面綁住,但係下面無。
- 係被下面綁住,但係上面無。
- 係無被綁定。
係被綁定
設同,之後將,需要證明出。
如果,咁就唔係嘅下界限。因此,咁就有一個符合。
同時,都唔係嘅上界限,所以有一個符合。
所以,。
利用上面「」入面嘅性質,得知。
因為係任意一點,所以。
如果同埋,咁。
如果同埋,咁。
如果同埋,咁。
如果同埋,咁。
係被上面綁住,但係下面無。
假設,咁。需要證明。
如果有點,咁就會有兩點令到。
因為,所以。
如果,。
如果,。
其他做法都係差唔多。
循環間距
[編輯]如果一串間距(sequence of intervals),係循環間距。咁就符合以下性質:
循環間距性質
[編輯]如果係一個循環綁定間距,咁就會有一個數,對應所有既符合。
證明: