數學歸納法

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數學歸納法粵拼:Sou3 hok6 gwai1 naap6 faat3英國話:Proof by mathematical induction)係一種數學上常用嘅證明方法。利用自然數(Natural number)嘅性質去證明一個有排序嘅命題(Proposition)。

數學歸納法法則[編輯]

數學歸納法法則(Principal Mathematical Induction)係數學歸納法證明命題嘅邏輯。

首先要證明以下呢兩樣嘢:

  • 嘅時候, 呢個命題係啱嘅;
  • 呢個命題係啱嘅時候,可以引伸到 都係啱嘅;

假如以上兩點成立到嘅話,咁就有得話當 嘅時候, 呢個命題會係啱嘅,而推落去又有得話當 嘅時候, 呢個命題都會係啱嘅,如此類推,就有得話「對應所有嘅自然數 都會係啱」(For all natural number , is true)。

基本方法[編輯]

數學歸納法需要以下三個步驟:

  1. 基本步驟(Base step):證明命題喺 嘅時候係啱嘅。
  2. 歸納假設(Induction hypothesis):假設命題喺 嘅時候係啱嘅。
  3. 推斷(Inductive step):利用(2)嘅假設,證明命題喺 嘅時候都係啱嘅。

例子一[編輯]

證明

證明:

基本步驟:當

歸納假設:假設

推斷:想證明 係啱嘅。

所以呢個命題對應所有嘅係啱。

例子二[編輯]

證明「如果 係非零整數,咁對應所有正整數 係正數。」

證明:

基本步驟:如果 係正數。

歸納假設:如果 係啱嘅話,即係 係正數。

推斷:如果

最細整數性質[編輯]

起點歸納[編輯]

完全歸納[編輯]

應用[編輯]

加總類型[編輯]

假設 係正整數。

乘完再加型[編輯]

假設 係正整數。

  • ,如果

指數定律[編輯]

假設 係正整數, 係整數。

簡單不等式[編輯]

假設 係正整數。

  • 都係整數同埋

不等式[編輯]

假設 係正整數。

睇埋[編輯]

參考[編輯]

  • Tillema, E., Kilpatrick, J., Johnson, H., Grady, M., Konnova, S., & Heid, M. K. (2015). Proof by mathematical induction. Mathematical Understanding for Secondary Teaching: A Framework and Classroom-Based Situations, 433.