微分方程

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微分方程英文differential equation)係方程嘅一種,講未知函數同佢自己嘅導數之間關係。佢同積分方程好密切。微分方程有兩大種:一種係常微分方程,一種係偏微分方程。另外再可以根據唔同特性(例如階數同次數)嚟細分佢哋。

微分方程喺實際應用嘅範圍好廣,除咗數學之外,喺科學工程學經濟學等等嘅範疇亦都有廣泛嘅用途。

微分方程解法大全[編輯]

變量分離法[編輯]

適用喺可以分離一階一次常微分方程。假設嗰條微分方程係 嘅樣(例如 ),就可以將嗰條微分方程啲 項(計埋 )同埋啲 項(計埋 )分開擗埋兩邊,然後兩邊一齊積鬼咗佢。冇邊界條件就一齊用不定積分,有邊界條件就一齊用定積分,辟如當 嘅時候,啲 項嗰邊就由 開始積起,啲 項嗰邊就由 開始積起,然後再將啲積咗嘅項調下位,執靚佢(顯函數就儘量寫成 嘅樣,隱函數就儘量寫成 嘅樣),噉就完事。

例子[編輯]

冇邊界條件[編輯]
(係二次方程)


(係圓方程)
有邊界條件[編輯]
  • ,其中喺 嘅時候
  • ,其中喺 嘅時候

積分因子法[編輯]

適用喺唔可以分離嘅一階常微分方程。對於個樣係 嘅微分方程,呢條方程嘅積分因子就係 (如果冇邊界條件)或者 (如果有邊界條件)。之後條方程就會變咗做一個相對容易解嘅樣:。最後用普通嘅積分就可以解咗佢。

例子[編輯]

冇邊界條件[編輯]
i.e.
有邊界條件[編輯]
  • ,其中喺 嘅時候
i.e.

特徵方程法[編輯]

適用喺常係數嘅線性齊次微分方程,尤其喺 階微分方程度用到。因為函數 係任意常數) 滿足微分方程 ,所以喺解二階一次常微分方程 嘅時候,我哋可以假設個答案係 個樣 ( 係任意常數),噉就可以將條微分方程變做一條二次方程 。解咗呢條二次方程就可以搵到條微分方程個通解,每個二次方程嘅一個解都對應住通解裏面嘅一個項。

要留意如果條二次方程有重複解,個通解裏面嘅其中一個項係 ,其中 係條二次方程嘅重複根。而如果條二次方程有複數解,就利用歐拉公式將個 裏面嘅純虛部分變做三角函數

例子[編輯]

冇邊界條件[編輯]

假設個函數係 可以得到特徵方程:

或者

將呢兩個解塞返落 呢個假設度,就可以得到通解係 ,其中 都係任意常數。

拉普拉斯變換法[編輯]

適用於二階一次常微分方程,睇拉普拉斯變換

[1][2]

參考[編輯]