利用圖表嚟表達
f
(
x
)
=
x
2
−
x
−
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2}
,佢嘅
x
{\displaystyle x}
-截距
−
1
{\displaystyle -1}
同
2
{\displaystyle 2}
正正就係二次方程
x
2
−
x
−
2
=
0
{\displaystyle x^{2}-x-2=0}
嘅解
二次方程 (英文 :quadratic equation )係指只有一個未知數 、最高次數 係
2
{\displaystyle 2}
嘅多項式方程。比佢簡單嘅有線性方程 ,係最簡單嘅方程式。而二次方程就係繼線性方程之後被數學家研究嘅方程。如果用圖表畫出,就會得出一條拋物線 。一般嚟講,二次方程可以寫做以下呢個樣:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad (a\neq 0)}
而
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
同
c
{\displaystyle c}
一般嚟講都係一個
實數 ,不過亦都可以係其他數字系統入面嘅數,例如整數、有理數、複數、p進數等等,甚至
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
、
c
{\displaystyle c}
自己都係函數都得。
解二次方程 [ 編輯 ]
解析解 [ 編輯 ]
二次公式,用嚟解二次方程。
解二次方程嘅其中一個方法就係配方法 (completing the square)。假設有一條二次方程:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
先確保
x
2
{\displaystyle x^{2}}
嘅常數係
1
{\displaystyle 1}
,所以成條式除以
a
{\displaystyle a}
得出:
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}
再做配方法,配方法係利用
(
a
±
b
2
)
2
=
a
2
±
a
b
+
b
2
4
{\displaystyle \left(a\pm {\frac {b}{2}}\right)^{2}=a^{2}\pm ab+{\frac {b^{2}}{4}}}
,轉個轉方法寫出嚟,即係變成咁
a
2
±
a
b
=
(
a
±
b
2
)
2
−
b
2
4
{\displaystyle a^{2}\pm ab=\left(a\pm {\frac {b}{2}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}
,再應用得出:
(
x
+
b
2
a
)
2
−
b
2
4
a
2
+
c
a
=
0
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}=0}
咁整理一下:
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}
將兩邊都開一次方,就得出:(注意,開方有正有負)
x
+
b
2
a
=
±
b
2
−
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}}
再整理一次:
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
呢條式就係著名嘅二次公式 。
呢條公式去到17世紀先至有人砌到出黎。雖然喺1585年,數學家Simon Stevin 係佢嘅著作L'Arithmetique 入面已經有提到點樣解二次方程,但係佢就係用文字表達出嚟,而唔係用數學式。最後,數學家用咗四十幾年先可以正式解到。
巴比倫人嘅解法 [ 編輯 ]
巴比倫人應該係世界上第一族可以解到二次方程嘅人。早喺公元前2000年,巴比倫有一塊碑度記載咗點解二次方程,以下係英文翻譯:
「I have subtracted from the area the side of my square: 14.30. Take 1, the coefficient. Divide 1 into two parts: 30. Multiply 30 and 30:15. You add to 14.30, and 14.30.15 has the root 29.30. You add to 29.30 the 30 which you have multiplied by itself: 30, and this is the side of the square.[1] 」
判別式 [ 編輯 ]
內文:判別式
因為根號入面嘅數值會影響咗實根嘅數量,所以就有以下嘅判別式 (discriminant):
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta ={b^{2}-4ac}}
當
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
,有兩個唔同嘅實根;
當
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
,有兩個一樣嘅實根,叫重根;
當
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
,因為負數 嘅開方 係虛數 ,所以冇實根,而係有一對共軛 複數根。
↑ Jean-Pierre Tignol, Galois' Theory of Algebraic Equations . QA211 .T5413 2001