質數分解域定理

質數分解域定理指嘅係「所有單點環倍數域（PID）都係質數分解域（UFD）」（Every PID is UFD.）。呢個定理需要用到兩樣嘢，一樣係「增長單點環倍數限制」（Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal，ACCPI）；同埋「質數$=$不可分解數」（Prime$=$Irreducible）。

增長單點環倍數限制

假設${\textbf {D}}$係一個單點環倍域（Principal Ideal），如果$\langle a_{1}\rangle \subseteq \langle a_{2}\rangle \subseteq \langle a_{3}\rangle \subseteq \cdots$係一條增長連鎖，咁就會有一個自然數$n\in \mathbb {Z} _{>0}$，使到$\forall i\geq n$符合$\langle a_{i}\rangle =\langle a_{n}\rangle$。換句話講，$\langle a_{1}\rangle \subseteq \langle a_{2}\rangle \subseteq \langle a_{3}\rangle \subseteq \cdots \subseteq \langle a_{n}\rangle =\langle a_{n+1}\rangle =\cdots$。

呢個性質就係增長單點環倍數限制（Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal, ACCPI）。

證明：

首先，得知$I:=\bigcup _{i}\langle a_{i}\rangle$都係${\textbf {D}}$嘅一個環倍數。（$\langle a_{i}\rangle$係增長連鎖。）

因為${\textbf {D}}$係單點環倍域，所以對應一啲$b\in {\textbf {D}}$，$I=\langle b\rangle$，同時$b\in I\implies b\in \langle a_{n}\rangle$，對應一啲$n\in \mathbb {Z} _{>0}$。

而家對應$i\geq n$，$\langle b\rangle \subseteq \langle a_{n}\rangle \subseteq \langle a_{i}\rangle \subseteq I=\langle b\rangle$

$\implies \langle a_{i}\rangle =\langle a_{n}\rangle$

證明

存在質數分解

設$a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$。證明有一個不可分解數$p_{i}$符合$p_{i}|a$。

如果$a$係不可分解數，搞掂。

如果唔係，咁就有$a_{1},b_{1}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$符合$a=a_{1}b_{1}$，如果$a_{1},b_{1}$都係不可分數，搞掂。

如果都唔係，$\langle a\rangle \subsetneq \langle a_{1}\rangle$，$b\notin {\textbf {D}}^{\times }$。

將以上嘅概念放去$a_{1}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$，因為$a_{1}$唔係不可分解數。

咁$a_{1}=a_{2}b_{2}$，$a_{2},b_{2}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$，如果$a_{2}$或者$b_{2}$都係不可分解數，搞掂。

繼續呢個步驟，就會有$p_{i}$係一個不可分解數，或者一條增長連鎖$\langle a\rangle \subsetneq \langle a_{1}\rangle \subsetneq \langle a_{2}\rangle \subsetneq \cdots$。

因為ACCPI，所以後者係無可能出現。

由上面呢段嘢，可以總結出任何$a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$唔係不可分解數，就都可以有一個不可分解數$p_{1}$符合$p_{1}|a$。

（即係對應一啲$b_{1}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$，$a=p_{1}b_{1}$）

如果$b_{1}$係不可分解數，搞掂。

如果唔係，$b_{1}=b_{2}=p_{3}b_{3}$同時ACCPI會令到呢個連續嘅行為停止。

總結得知一定有$n$咁多$b_{n}$嘅不可分解數，令到$a=p_{1}p_{2}b_{2}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}b_{n}$成立。

而呢個就係$a$嘅質數分解。

質數分解獨有性

如果$a=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}=q_{1}q_{2}\cdots q_{m}$都係$a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$嘅質數分解。

約到最簡，可以假設$n\geq m$。

因為不可分解數$\implies$質數，$p_{1}|q_{1}q_{2}\cdots q_{n}\implies p_{1}|q_{i}$，

將佢排返好，可以叫$i=1$，$p_{1}|q_{1}$；但係$q_{1}$係不可分解數，所以對應一啲$u_{1}\in {\textbf {D}}^{\times }$，$q_{1}=p_{1}u_{1}$

所以$p_{1}p_{2}\cdots p_{n}=(p_{1}u_{1})q_{2}\cdots q_{m}$，

$\implies p_{2}\cdots p_{n}=u_{1}q_{2}\cdots q_{m}$。

重覆以上步驟，將$p_{2},p_{3}\cdots p_{n}$處理，

$\implies {\begin{cases}q_{i}=u_{i}p_{i}\quad i=1\cdots n,u_{i}\in {\textbf {D}}^{\times }\\1=u_{1}u_{2}\cdots u_{n}q_{n+1}\cdots q_{m}\end{cases}}$。

因為每一個$q_{i}$都係不可分解數，加上佢哋唔係單元（Unit），所以$m=n$。

睇埋

• 環倍數
• 最大環倍數
• 單點環倍數
• 單點環倍數域
• 質數分解域
• 歐幾理得域