質數分解域定理指嘅係「所有單點環倍數域(PID)都係質數分解域(UFD)」(Every PID is UFD.)。呢個定理需要用到兩樣嘢,一樣係「增長單點環倍數限制」(Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal,ACCPI);同埋「質數
不可分解數」(Prime
Irreducible)。
假設
係一個單點環倍域(Principal Ideal),如果
係一條增長連鎖,咁就會有一個自然數
,使到
符合
。換句話講,
。
呢個性質就係增長單點環倍數限制(Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal, ACCPI)。
證明:
首先,得知
都係
嘅一個環倍數。(
係增長連鎖。)
因為
係單點環倍域,所以對應一啲
,
,同時
,對應一啲
。
而家對應
,
設
。證明有一個不可分解數
符合
。
如果
係不可分解數,搞掂。
如果唔係,咁就有
符合
,如果
都係不可分數,搞掂。
如果都唔係,
,
。
將以上嘅概念放去
,因為
唔係不可分解數。
咁
,
,如果
或者
都係不可分解數,搞掂。
繼續呢個步驟,就會有
係一個不可分解數,或者一條增長連鎖
。
因為ACCPI,所以後者係無可能出現。
由上面呢段嘢,可以總結出任何
唔係不可分解數,就都可以有一個不可分解數
符合
。
(即係對應一啲
,
)
如果
係不可分解數,搞掂。
如果唔係,
同時ACCPI會令到呢個連續嘅行為停止。
總結得知一定有
咁多
嘅不可分解數,令到
成立。
而呢個就係
嘅質數分解。
如果
都係
嘅質數分解。
約到最簡,可以假設
。
因為不可分解數
質數,
,
將佢排返好,可以叫
,
;但係
係不可分解數,所以對應一啲
,
所以
,
。
重覆以上步驟,將
處理,
。
因為每一個
都係不可分解數,加上佢哋唔係單元(Unit),所以
。