質數分解域定理

質數分解域定理指嘅係「所有單點環倍數域（PID）都係質數分解域（UFD）」（Every PID is UFD.）。呢個定理需要用到兩樣嘢，一樣係「增長單點環倍數限制」（Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal，ACCPI）；同埋「質數 $=$ 不可分解數」（Prime $=$ Irreducible）。

增長單點環倍數限制

假設 ${\textbf {D}}$ 係一個單點環倍域（Principal Ideal），如果 $\langle a_{1}\rangle \subseteq \langle a_{2}\rangle \subseteq \langle a_{3}\rangle \subseteq \cdots$ 係一條增長連鎖，咁就會有一個自然數 $n\in \mathbb {Z} _{>0}$ ，使到 $\forall i\geq n$ 符合 $\langle a_{i}\rangle =\langle a_{n}\rangle$ 。換句話講， $\langle a_{1}\rangle \subseteq \langle a_{2}\rangle \subseteq \langle a_{3}\rangle \subseteq \cdots \subseteq \langle a_{n}\rangle =\langle a_{n+1}\rangle =\cdots$ 。

呢個性質就係增長單點環倍數限制（Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal, ACCPI）。

證明：

首先，得知 $I:=\bigcup _{i}\langle a_{i}\rangle$ 都係 ${\textbf {D}}$ 嘅一個環倍數。（ $\langle a_{i}\rangle$ 係增長連鎖。）

因為 ${\textbf {D}}$ 係單點環倍域，所以對應一啲 $b\in {\textbf {D}}$ ， $I=\langle b\rangle$ ，同時 $b\in I\implies b\in \langle a_{n}\rangle$ ，對應一啲 $n\in \mathbb {Z} _{>0}$ 。

而家對應 $i\geq n$ ， $\langle b\rangle \subseteq \langle a_{n}\rangle \subseteq \langle a_{i}\rangle \subseteq I=\langle b\rangle$

$\implies \langle a_{i}\rangle =\langle a_{n}\rangle$

證明

存在質數分解

設 $a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$ 。證明有一個不可分解數 $p_{i}$ 符合 $p_{i}|a$ 。

如果 $a$ 係不可分解數，搞掂。

如果唔係，咁就有 $a_{1},b_{1}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$ 符合 $a=a_{1}b_{1}$ ，如果 $a_{1},b_{1}$ 都係不可分數，搞掂。

如果都唔係， $\langle a\rangle \subsetneq \langle a_{1}\rangle$ ， $b\notin {\textbf {D}}^{\times }$ 。

將以上嘅概念放去 $a_{1}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$ ，因為 $a_{1}$ 唔係不可分解數。

咁 $a_{1}=a_{2}b_{2}$ ， $a_{2},b_{2}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$ ，如果 $a_{2}$ 或者 $b_{2}$ 都係不可分解數，搞掂。

繼續呢個步驟，就會有 $p_{i}$ 係一個不可分解數，或者一條增長連鎖 $\langle a\rangle \subsetneq \langle a_{1}\rangle \subsetneq \langle a_{2}\rangle \subsetneq \cdots$ 。

因為ACCPI，所以後者係無可能出現。

由上面呢段嘢，可以總結出任何 $a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$ 唔係不可分解數，就都可以有一個不可分解數 $p_{1}$ 符合 $p_{1}|a$ 。

（即係對應一啲 $b_{1}\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$ ， $a=p_{1}b_{1}$ ）

如果 $b_{1}$ 係不可分解數，搞掂。

如果唔係， $b_{1}=b_{2}=p_{3}b_{3}$ 同時ACCPI會令到呢個連續嘅行為停止。

總結得知一定有 $n$ 咁多 $b_{n}$ 嘅不可分解數，令到 $a=p_{1}p_{2}b_{2}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}b_{n}$ 成立。

而呢個就係 $a$ 嘅質數分解。

質數分解獨有性

如果 $a=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}=q_{1}q_{2}\cdots q_{m}$ 都係 $a\in {\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})$ 嘅質數分解。

約到最簡，可以假設 $n\geq m$ 。

因為不可分解數 $\implies$ 質數， $p_{1}|q_{1}q_{2}\cdots q_{n}\implies p_{1}|q_{i}$ ，

將佢排返好，可以叫 $i=1$ ， $p_{1}|q_{1}$ ；但係 $q_{1}$ 係不可分解數，所以對應一啲 $u_{1}\in {\textbf {D}}^{\times }$ ， $q_{1}=p_{1}u_{1}$

所以 $p_{1}p_{2}\cdots p_{n}=(p_{1}u_{1})q_{2}\cdots q_{m}$ ，

$\implies p_{2}\cdots p_{n}=u_{1}q_{2}\cdots q_{m}$ 。

重覆以上步驟，將 $p_{2},p_{3}\cdots p_{n}$ 處理，

$\implies {\begin{cases}q_{i}=u_{i}p_{i}\quad i=1\cdots n,u_{i}\in {\textbf {D}}^{\times }\\1=u_{1}u_{2}\cdots u_{n}q_{n+1}\cdots q_{m}\end{cases}}$ 。

因為每一個 $q_{i}$ 都係不可分解數，加上佢哋唔係單元（Unit），所以 $m=n$ 。

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