質數分解域定理

出自維基百科,自由嘅百科全書
Jump to navigation Jump to search

質數分解域定理指嘅係「所有單點環倍數域(PID)都係質數分解域(UFD)」(Every PID is UFD.)。呢個定理需要用到兩樣嘢,一樣係「增長單點環倍數限制」(Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal,ACCPI);同埋「質數不可分解數」(PrimeIrreducible)。

增長單點環倍數限制[編輯]

假設係一個單點環倍域(Principal Ideal),如果係一條增長連鎖,咁就會有一個自然數,使到符合。換句話講,

呢個性質就係增長單點環倍數限制(Ascending Chain Condition of Pricipal Ideal, ACCPI)。

證明:

首先,得知都係嘅一個環倍數。(係增長連鎖。)

因為係單點環倍域,所以對應一啲,同時,對應一啲

而家對應

證明[編輯]

存在質數分解[編輯]

。證明有一個不可分解數符合

如果係不可分解數,搞掂。

如果唔係,咁就有符合,如果都係不可分數,搞掂。

如果都唔係,

將以上嘅概念放去,因為唔係不可分解數。

,如果或者都係不可分解數,搞掂。

繼續呢個步驟,就會有係一個不可分解數,或者一條增長連鎖

因為ACCPI,所以後者係無可能出現。

由上面呢段嘢,可以總結出任何唔係不可分解數,就都可以有一個不可分解數符合

(即係對應一啲

如果係不可分解數,搞掂。

如果唔係,同時ACCPI會令到呢個連續嘅行為停止。

總結得知一定有咁多嘅不可分解數,令到成立。

而呢個就係嘅質數分解。

質數分解獨有性[編輯]

如果都係嘅質數分解。

約到最簡,可以假設

因為不可分解數質數,

將佢排返好,可以叫;但係係不可分解數,所以對應一啲

所以

重覆以上步驟,將處理,

因為每一個都係不可分解數,加上佢哋唔係單元(Unit),所以

睇埋[編輯]