循環群

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循環群(Cyclic Group)係一類,係由一粒嘢所整出嚟嘅群。一般會以嚟表示。

最簡單嘅循環群有加法,咁都係整群出嚟嗰粒嘢,一般會叫呢兩粒嘢做生產元素(Generators)。如果係正數,

咁多次。如果係負數,
咁多次。

子群定理[編輯]

如果係一個群。如果入面嘅嘢,咁就係一個子群

證明:

因為唔係空集。

,利用一步子群要求子群

例子一[編輯]

,係嘅環單元(Units),

因為

,所以

例子二[編輯]

例子三[編輯]

入面每一粒嘢。

非子群例子[編輯]

例子一[編輯]

,對應。係一個循環群。都係整群出嚟嘅嘢。

例子二[編輯]

。可以得知,

但係,因為

循環子群定理[編輯]

每一個循環群嘅子群都一定係循環群。(Every subgroup of cyclic Group is cyclic.)

證明:

係循環群,即係就係嘅子群。

如果係得一粒,咁

如果唔係淨係得,即係揀任何一粒入面嘅嘢,

係整數。

係最細整數,令到,同埋入面是但一粒嘢。

因為嘅子群,所以,對應有啲

利用餘數定理,就有兩個數,符合。(同時,

因為係子群,所以嘅逆元就係

所以,同埋

但係因為係最細整數,令到,同時

所以

正正因為,所以

相等元素要求[編輯]

如果係一個群,

如果係有基數,,咁同埋

如果係無基數,咁

證明:

如果係無基數,咁無一個非零嘅符合

因為,所以。因此

如果係有基數,

揀任何一粒

利用餘數定理,有兩粒。(同時

所以

如果

利用餘數定理,有兩粒同埋

因為係最細整數令到,所以

如果,咁

,所以

推論一[編輯]

任何

推論二[編輯]

係一個群,同埋佢嘅基數係

如果,咁

最大公因數定理[編輯]

係一個群,同埋佢嘅基數係係正整數

證明:

。同埋,

因為,咁

利用比舒公式,有兩個數

所以

(想要證明

,所以

如果有一個整數係細過,咁根據嘅定義

利用

應用[編輯]

整細個生產表示。例如,咁

推論一[編輯]

喺有限嘅循環群入面,元素嘅基數除得盡群嘅基數。

推論二[編輯]

。咁,同埋

推論三[編輯]

推論四[編輯]

入面嘅整數,佢係整出嚟

睇埋[編輯]