李羣

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係李羣嘅例子,同環面同胚。

喺數學入面,一個李羣(以Sophus Lie命名)係一個實或者複可微流形,佢同時係一個,而且群嘅運算(乘法同逆元)都係可微函數。李羣呢個概念對物理幾何數學分析都好重要,因爲佢可以描述「無限細嘅」對稱。李羣係喺1870年由Sophus Lie定義嘅,用嚟研究微分方程嘅對稱性。

雖然歐幾里得空間係一個實李羣(用向量加法作爲群嘅運算),但係典型嘅李羣例子係一啲可逆矩陣群,例如 SO(3),由三維空間入面嘅旋轉組成。下面有更多李羣嘅例子。

分類[編輯]

我哋可以用代數性質將李羣分類,例如簡單半簡單可解零冪阿貝爾等等,或者用拓撲性質,例如連通緊緻

同態同同構[編輯]

如果 G 同 H 係李羣,咁一個李羣同態 就係一個群同態,佢同時係一個可微函數(可以證明其實只需要要求佢係連續函數)。李羣同態嘅複合都會係返一個李羣同態,所以李羣同李羣同態形成一個範疇。如果存在一個由 G 去 H 嘅雙射李羣同態,佢嘅反函數都係李羣同態嘅話,我哋就話 G 同 H 係同構嘅。

李羣對應嘅李代數[編輯]

對每一個李羣,我哋可以幫佢對應一個李代數,呢個李代數可以完全記錄個李羣嘅局部結構。

首先,我哋定義咗左不變向量場先:對任何嘅 係一個由 打返去自己到嘅微分同胚,一個向量場 符合 就叫做左不變向量場喇。

喺一個可微流形上面,所有向量場組成一個李代數(用李括號),係李羣上面(記得李羣都係一個可微流形),左不變向量場形成咗一個子李代數,呢個就係 G 對應嘅李代數喇,通常會用哥特體嘅 g 嚟表示()。呢個李代數 係有限維嘅(事實上,佢嘅維度同流形 G 嘅維度一樣),所以我哋可以嘗試進行分類。分類 對理解 G 都有幫助,李羣同李代數嘅表示論就係例子。

每一個李羣同態 都會誘導一個李代數同態 ,而 呢個對應其實係一個函子嚟。

入面每一個左不變向量場 v 我哋都可以定義一條積分曲線 ,符合微分方程

同埋以下呢個性質:

正因爲呢個性質,c 又叫單參數子羣。亦都因爲呢個性質好似指數函數嘅性質,我哋定義

.

呢個指數函數係由李代數 打去李羣 G 嘅一個函數,佢延伸咗好幾個比較爲人熟悉嘅概念:實數上嘅指數函數、複數上嘅指數函數同埋矩陣嘅指數函數,所以呢三個例子 其實都係李代數嚟。

指數函數提供咗一個由 入面 0 嘅鄰域打去 G 入面 e 嘅鄰域嘅可微同胚。由於呢個指數函數係 e 嘅鄰域係滿射,我哋有時會叫李代數入面嘅元素做 G 嘅無限細生成元。事實上,如果 G 係連通嘅話,任何 e 嘅鄰域都生成 G。

根據Baker-Campbell-Hausdorff公式,指數函數同埋李代數結構(啫係個李括號)可以完全決定 G 入面 e 嘅一個鄰域嘅李羣結構:存在一個 入面 0 嘅鄰域 U,使得對任何 ,我哋都有

當中每一項嘅系數都可以計到出嚟,同埋每一項都係 u 同 v 嘅李括號嚟。如果 u 同 v 係交換嘅話,條式就變咗我哋熟悉嘅 exp(u) exp(v) = exp(u+v)。

李代數並唔係完全一一對應到一個李羣,可以睇吓下面個表,有啲唔同嘅李羣係有同一個李代數嘅,但係亦有啲李羣嘅性質係可以由佢嘅李代數反映出來,例如簡單、半簡單、可解、零冪同阿貝爾。

如果我哋淨係考慮簡單連通李羣嘅話,李代數同李羣就一一對應喇:任何有限維李羣 都對應住(同構嚟講)唯一一個簡單連通李羣,而且呢個時候我哋可以掉反轉:任何李代數同態 都可以誘導一個李羣同態 ,當中 G 同 H 都係簡單連通李羣。

實李羣同對應嘅李代數列表[編輯]

李羣 描述 註釋 李代數 描述 dim/
歐幾里得空間,向量加法 阿貝爾、簡單連通、唔緊緻 李括號係零 n
非零實數,乘法 阿貝爾、唔連通、唔緊緻 李括號係零 1
正實數,乘法 阿貝爾、簡單連通、唔緊緻 李括號係零 1
模一複數,乘法;同圓形同胚 阿貝爾、連通、唔簡單連通、緊緻 李括號係零 1
非零四元數,乘法 連通、簡單連通、唔緊緻 四元數,李括號係交換子 4
模一四元數,乘法;同3-球面同胚 簡單連通、緊緻、簡單、半簡單、同 同埋 同構 3-vectores reales, con el corchete de Lie el producto vectorial; isomorfo a los cuaterniones con parte real cero, con el corchete de Lie dado por el conmutador también isomorfo a y a 3
一般線性羣: 可逆實矩陣 唔連通、唔緊緻 matrices reales n-por-n, con el corchete de Lie dado por el conmutador
可逆實矩陣,行列式係正 連通、唔緊緻 matrices reales n-por-n, con el corchete de Lie dado por el conmutador
特別線性羣: 可逆實矩陣,行列式係 1 連通、唔緊緻、n>1嘅話簡單 matrices reales n-por-n, con traza 0, con el corchete de Lie dado por el conmutador n²-1
正交羣: 實正交矩陣 唔連通、緊緻 matrices reales n-por-n, antisimétricas, con el corchete de Lie dado por el conmutador; es isomorfo a y a con el producto vectorial n(n-1)/2
特別正交羣: 實正交矩陣,行列式係 1 連通、緊緻、n>1嘅話唔簡單連通、半簡單、n=3或者n ≥5嘅話簡單 matrices reales n-por-n, antisimétricas, con el corchete de Lie dado por el conmutador n(n-1)/2
旋量羣 簡單連通、緊緻、半簡單、n=3或者n ≥5嘅話簡單 matrices reales n-por-n, antisimétricas, con el corchete de Lie dado por el conmutador n(n-1)/2
grupo simplécticoreal: matrices simplécticas reales 唔緊緻、簡單、半簡單 matrices reales que satisfacen JA + ATJ = 0 donde J es la matriz anti-simétrica estándar n(2n + 1)
grupo simpléctico: matrices unitarias n-por-n cuaterniónicas 緊緻、簡單連通、簡單、n>0嘅話半簡單 matrices cuaterniónicas cuadradas A satisfaciendo A = −A*, con el corchete de Lie dado por el conmutador n(2n + 1)
grupo unitario: matrices complejas n-por-n unitarias n=1 嘅話同 S¹ 同構,n>0 嘅話唔簡單連通、緊緻。注意:呢個唔係複李羣/複李代數 matrices complejas n-por-n, que cumplen A = -A*, con el corchete de Lie dado por el conmutador n(n-1)/2 n²
grupo especial unitario: matrices complejas n-por-n unitarias con determinante 1 簡單連通、緊緻、n ≥2嘅話簡單同埋半簡單。注意:呢個唔係複李羣/複李代數 matrices complejas , que cumplen A = -A* con traza 0, con el corchete de Lie dado por el conmutador n²-1

複李羣同對應李代數列表[編輯]

李羣 描述 註釋 李代數 描述 dim/
Cn 歐幾里得空間,向量加法 阿貝爾、簡單連通、唔緊緻 Cn 李括號係零 n
C× 非零複數,乘法 阿貝爾、連通、唔簡單連通、唔緊緻 C 李括號係零 1
GL(n, C) 複一般線性羣: 可逆複矩陣 簡單連通、唔緊緻 M(n, C) matrices complejas n-por-n, con el corchete de Lie dado por el conmutador n²
SL(n, C) 複特別線性羣: 可逆複矩陣,行列式係 1 簡單、半簡單、簡單連通 si n>1、唔緊緻 sl(n, C) matrices complejas n-por-n, con traza 0, con el corchete de Lie dado por el conmutador n²-1
O(n, C) 複正交羣: 複正交矩陣 唔連通 n>1、緊緻 so(n, C) matrices complejas n-por-n, antisimétricas, con el corchete de Lie dado por el conmutador n(n-1)/2
SO(n, C) 複特別正交羣: 複正交矩陣,行列式係 1 連通、唔緊緻、如果 n>1 嘅話唔簡單連通、如果n=3 或者 n ≥5 嘅話簡單同半簡單 so(n, C) matrices complejas n-por-n, antisimétricas, con el corchete de Lie dado por el conmutador n(n-1)/2
Sp(2n, C) grupo simpléctico: matrices simplécticas complejas 唔緊緻、簡單 y 半簡單 sp(2n, C) matrices complejas que satisfacen JA + ATJ = 0 donde J es la matriz anti-simétrica estándar n(2n + 1)

無限維李羣例子[編輯]

李羣 描述 註釋 李代數 描述 dim/R
上面嘅可微同胚 唔阿貝爾

廣義相對論好有用

上面嘅向量場
上面保持體積嘅可微同胚 唔阿貝爾
喺流體動力學好有用
上面嘅向量場,

而且散度係零

[編輯]

  • Adams, John Frank (1969), Lectures on Lie Groups, Chicago Lectures in Mathematics, Chicago: Univ. of Chicago Press, ISBN 0-226-00527-5.
  • Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9.
  • Serre, Jean-Pierre (1965), Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University, Lecture notes in mathematics, 1500, Springer, ISBN 3-540-55008-9.
  • Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010

睇埋[編輯]