連續函數

連續函數（英文：continuous function）係數學入面一類好重要嘅函數，數學分析同拓撲學都會研究佢。呢個概念喺牛頓嘅年代已經有，當時會有唔斷嘅線嚟形容，即係「not broken curve」。之後到咗十九世紀，就開始有一個確實嘅定義。

定義

設$A\subseteq \mathbb {R} ,f:A\to \mathbb {R} ,c\in A$。

假設有個$\varepsilon >0$，咁就會有一個$\delta >0$符合，如果喺$A$入面有一點$x\in A$符合$|x-c|<\delta$，咁$|f(x)-f(c)|<\varepsilon$。

咁就會話$f$喺$c$嗰度係連續嘅（$f$ is continuous at $c$）。

如果以下條件唔成立，就會話$f$喺$c$嗰度係唔連續嘅（$f$ is discontinuous at $c$）。

注意：

• 喺呢個定義入面睇到，如果$c$係一點包圍點，咁加埋如果$f$係$c$嗰度係連續嘅，咁$\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$。
• 由上面嘅定義睇到，$f$喺$c$呢點度係定義好。
• 同時，$f$趨向$c$嘅極限係喺$\mathbb {R}$入面存在。呢個極限係等於$f(c)$。

連續數列要求

對應函數數列要求，喺呢個課題上面，都會有相類似嘅要求。

定理

$f$喺$c$度係連續嘅，咁一定係每一個喺$A$入面嘅數列$(x_{n})$係趨向$c$嘅，對應嘅$(f(x_{n}))$都係趨向$f(c)$。「$\iff$」

唔連續嘅要求

假設$A\subseteq \mathbb {R} ,f:A\to \mathbb {R} ,c\in A$。

$f$喺$c$到係唔連續嘅，咁一定係每一個喺$A$入面嘅數列$(x_{n})$係趨向$c$嘅，對應嘅$(f(x_{n}))$係唔趨向$f(c)$。「$\iff$」

呢個要求屬於，數列要求嘅推理。

集上連續函數

假設$A\subseteq \mathbb {R} ,f:A\to \mathbb {R}$。$B$係$A$嘅子集，即係$B\subseteq A$。

如果$f$喺$B$入面每一點都係連續嘅話，我哋會叫$f$係連續喺集$B$上面（$f$ is continuous on set $B$）。

例子

$f(x):=c$，$c$係一個常數。

呢個係一個連續函數。因為$\lim _{x\to c'}f(x)=c$同時$f(c')=c$，所以佢係連續函數。同時，佢係每點都係連續。

$f(x):=x$。

呢個都係一個連續函數。

睇埋

• 極限
• 函數組合嘅連續性
• 間上連續函數
• 保西奴中間點定理
• 統一連續