數學證明

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歐幾里得(Euclid)寫嘅一個數學證明

數學證明粵拼:Sou3 hok6 zing3 ming4英國話:Mathematical proof),通常簡稱證明,係數學家研究數學嘅一種工具。喺呢個過程入面,數學家會先諗出一柞公理(Axiom)-一啲佢哋認為好明顯係真,唔使證明都可以攞嚟用嘅命題(Proposition)-或者係用一啲之前已經證明咗嘅命題(即係所謂嘅定理;Theorem)。然後佢哋會靠住用呢啲公理同定理,再用一啲數學證明嘅方法推斷出一啲實啱(Always true)嘅新命題,而呢啲新推出嚟嘅命題會畀好多數學家攞嚟詏,如果詏完一輪之後啲數學家覺得個證明冇問題嘅話,條新命題就會變成一條新嘅定理。呢啲新定理又有得攞去用嚟證明新啲嘅定理-於是乎數學知識就係咁增長[1][2]。如果一條命題要畀人接受係定理,佢一定要有個令人滿意嘅證明,如果佢只係有人覺得可能係啱但係冇畀人成功證明到嘅話,佢只會係一個猜想(Conjecture)。

大分類[編輯]

大體上,數學嘅證明有得分做兩種:

  • 非形式化嘅證明(Informal proof)-一種用自然語言(粵拼:Zi6 jin4 jyu5 jin4;英國話:Natural language)-即係好似廣東話呢類日常傾偈用嘅語言-寫出嚟嘅論證,用嚟說服啲讀者某個定理或者論斷係啱。因為呢種證明用咗自然語言,而自然語言好多時冇數學語言咁精確,搞到非形式化嘅證明畀數學家覺得佢寬鬆得滯。非形式化嘅證明通常都係用喺應用嘅場合度,例如係科普講座、口頭辯論、或者初等教育-因為喺呢啲場合度啲讀者嘅水平冇咁高。
  • 形式化嘅證明(Formal proof)-一種唔係用自然語言,而係用數學語言(粵拼:Sou3 hok6 jyu5 jin4;英國話:Mathematical language)寫出嚟嘅證明。數學語言係一連串既定嘅符號,每個符號都有一套標準化而且好明確嘅定義,令到啲數學家唔使憂個證明夠唔夠清楚明確。如果一個數學家係想向成個數學界證明某啲新定理或者理論嘅話,佢一定要用形式化嘅證明,先至可以說服到數學界佢個證明係夠精確嘅。

研究證明嘅形式同方法嘅理論喺學術上畀人嗌做證明論(粵拼:Zing3 ming4 leon4;英國話:Proof theory)。

常用嘅證明方法[編輯]

直接證明[編輯]

內文: 直接證明

直接證明(粵拼:Zik6 zip3 zing3 ming4;Direct proof)係指直接由啲大家都認為係唔使證明都可以當係啱嘅公理(Axiom)或者係之前畀人證明咗嘅定理嗰度出發,運用推理(粵拼:Teoi1 lei5;Deductive reasoning)去推想證明嗰條定理出嚟,係最簡單直接嘅證明方法。基本上,個思路就係:

  • 有若干數量嘅命題(...),因為佢哋係公理或者之前經已畀人證明咗,所以可以假設佢哋係啱嘅;
  • 由呢柞命題度可以引申到一條新命題
  • 所以命題 都係啱嘅。

例子[編輯]

要求:證明「任何兩個雙數(Even numbers) 加埋一齊,出嘅一定會係一個雙數」。



喺成個證明過程入面,個證明者淨係用咗一條公理,跟手就推咗條新定埋出嚟-係一個直接證明。

數學歸納法[編輯]

內文: 數學歸納法

數學歸納法(粵拼:Sou3 hok6 gwai1 naap6 faat3;Proof by mathematical induction)專係用嚟證明一啲有排序性嘅定理。佢成個諗頭係在於要先證明以下兩樣嘢:

  • 嘅時候,命題 係啱嘅;
  • 當命題 係啱嘅時候,可以引伸到 都係啱嘅;

假如以上兩點成立到嘅話,咁就有得話「當 嘅時候, 呢個命題會係啱」,而「當 嘅時候, 呢個命題都會係啱」,如此類推,命題 對應所有嘅自然數(Natural number;平時用嚟數嘢嘅數字)都係啱嘅(For all natural number , is true)。

例子[編輯]

要求:證明「如果 係非零整數(Integer),咁對應所有正整數 係正數。」(想要證明嘅命題



否定證明[編輯]

內文: 否定證明

否定證明(粵拼:Fau2 ding6 zing3 ming4;Proof by negation,又或者 Proof by contraposition)係一種利用換質換位(Contraposition)邏輯嚟去證明一啲定理嘅證明方法。「換質換位」指嘅簡單啲講係話「」同「」呢兩句嘢喺邏輯上係有關嘅:如果「 暗示(Imply) 」係啱嘅,咁如果 唔係真,咁 都唔會係真。例如係以下呢個論證:

  • 如果蘇格拉底係一個人,咁佢嘅壽命會係有限嘅;(
  • 如果蘇格拉底嘅壽命係冇限嘅,咁佢一定唔係一個人。(

如果將 換做某啲數學命題,咁呢種思考方式就有得攞嚟做數學證明。

例子[編輯]

要求:證明「有個整數 ,如果 係雙數,咁 都一定係雙數。」



反證法[編輯]

內文: 反證法

反證法(粵拼:Faan2 zing3 faat3;Proof by contradiction)係利用咗「如果呢條命題成立,會有個唔合理嘅結果,所以呢條命題冇可能係啱嘅」呢點嚟證明某啲命題係錯嘅。佢條思路係:

  • 先假設想否定嘅命題 係啱嘅;
  • 由命題 嗰度引申一個荒謬嘅結果出嚟;
  • 咁就可以話命題 係錯嘅。

例子[編輯]

要求:證明「假設 係一個單數,咁 唔會係一個雙數」。



構造法[編輯]

內文: 構造法

構造法(粵拼:Gau3 zou6 faat3;Proof by construction)一般係用嚟證明一啲存在性定理(Existence theorem;一啲話某啲嘢存在嘅定理)-用呢個證明嗰陣,用嗰個人會諗出一件有得用數學描述嘅物件出嚟,列出佢有啲乜嘢特性,再證明一件有呢啲數學物性嘅物件係存在嘅。佢條思路係咁嘅:

  • 揾到有一個情況下,命題 係啱嘅;
  • 證明到「喺至少一個情況下,命題 係啱嘅」。

例子[編輯]

要求:證明「唔係所有單數都係質數(Prime number)」(即係話「喺至少一個個案入面,有個單數唔係質數」)。



分類證明[編輯]

內文: 分類證明

分類證明(粵拼:Fan1 leoi6 zing3 ming4;Proof by exhaustion,或者 Proof by cases)係一種用嚟證明啲淨係描述緊數量有限嘅個案度嘅定理嘅一種證明方法。佢嘅過程係要先列出所有個案,再顯示喺所有個案入面,條命題都係成立嘅。條思路如下:

  • 想要證明嘅命題 淨係描述緊數量有限(Finite in number)嘅個案(Case);
  • 將所有命題 描述嘅個案列嗮出嚟;
  • 顯示喺所有個案入面, 嘅預測都係成立嘅;
  • 證明到 呢句命題係啱嘅。

例子[編輯]

要求:證明「任何整數 係一個單數。」



因為整數一係單數一係雙數,而喺以上兩個個案入面 都係一個單數,所以「任何整數 係一個單數。」呢句命題成立。

證明嘅結尾[編輯]

內文: 證明完畢

有時喺一個數學證明嘅結尾嗰度會加咗 Q.E.D. 三個拉丁字母,呢個係拉丁話「Quod Erat Demonstrandum」嘅縮寫,意思係「證明完畢」咁解。廿一世紀嘅證明完畢符號通常係用(實心黑色嘅正方形)。佢畀人嗌做墓碑,又或者叫哈爾莫斯符號(Halmos symbol)-因為美國數學家 Paul Halmos 係第一個用呢種做法嘅。個墓碑有時係空心嘅。重有另外簡單嘅方法係寫「proven」、「shown」、或者「證畢」之類嘅文字。

[編輯]

  1. Clapham, C. & Nicholson, JN. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained.
  2. Gossett, E. (2009). Discrete Mathematics with Proof. Definition 3.1, p. 86. John Wiley and Sons. ISBN 0-470-45793-7

參考[編輯]

  • Hardy, G. H. (1929). Mathematical proof. Mind, 38(149), 1-25.
  • Hanna, G., & Jahnke, H. N. (1996). Proof and proving. In International handbook of mathematics education (pp. 877-908). Springer Netherlands.
  • Alibert, D., & Thomas, M. (2002). Research on mathematical proof. In Advanced mathematical thinking (pp. 215-230). Springer Netherlands.