反證法

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反證法粵拼:Faan2 zing3 faat3英國話:Proof by contradiction),又叫做證偽法矛盾證明,係一個數學上一個攞嚟證明啲嘢唔啱嘅方法。係拉丁話入面,反證法畀人嗌做「reductio ad absurdum」(英國話:reduction to the absurd),意思係「推斷出荒謬嘅嘢」。

呢個方法嘅橋妙係咁:首先整一個命題(Proposition),然後就假設(Assume) 呢個命題係啱嘅;跟住就推一啲只要 係啱,就一定會發生嘅結果出嚟,最後就指出呢個結果係唔成立或者係喺邏輯上矛盾嘅,咁就可以證明 係錯嘅。

真值表[編輯]

反證法可以用真值表嚟證明:因為如果「」係(True;T)但係 (False;F)嘅,咁 嘅值只可能係假。

推論
T T T
T F F
F T T
F F T

簡單例子[編輯]

要求

證明「如果 係一個單數,咁 都會係一個單數」。

證明

假設有個情況, 係一個單數,但係 係一個雙數

即係對應某啲 。計吓

好明顯呢個情況下 唔係一個雙數,所以同前提矛盾。所以 佢一定係個單數。「如果 係一個單數,咁 有可能係一個雙數」呢句嘢唔成立-「如果 係一個單數,咁 都會係一個單數」。

進階例子[編輯]

要求

證明冇任何兩個正整數(Positive integer) 可以乎合 呢條式。呢個證明需要用到分類證明(Proof by exhaustion)。

證明

假設有兩個正整數 符合 呢條式。(假設)

利用 ,得知

如果淨係睇整數 只可以係 嗰度嚟。

如果係 ,即係

因此,。(由假設推出個矛盾-因為唔可能有一個正整數係比一更細。)

如果係 ,即係

因此,。(又試由假設推出個矛盾:更冇可能,因為要求正整數。)

總括所有可能,個假設都係唔成立,所以一定唔存在 -冇任何兩個正整數可以乎合 呢條式。

係非有理數[編輯]

要求

利用矛盾證明嚟證明「非有理數(Irrational number;冇辦法用整數寫做分數嘅數字)。」

證明

假設 可以係個有理數(Rational number;可以用整數寫做分數嘅數字)。咁即係喺至少一個情況下 ,而 都係整數。

喺呢度,進一步假設 係已經約咗簡,費事有約數嘅撈絞。

由上面得出, 係雙數。

假設 係單數,利用簡單例子嘅定理,咁 一定係單數。(矛盾:因為 係雙數。)

所以, 係雙數,而且可以寫成 係某個整數。

利用上面,再總結得出 係雙數,而且可以寫成 係某個整數。

因為,假設 係已經約咗簡,所以唔可以有另一個

所以 唔可以用整數寫做分數。

可以利用呢個步驟推出 質數,都唔係有理數

反證法嘅步驟[編輯]

  1. 寫低要證明嘅命題。
  2. 再寫低頭先嗰句命題嘅相反,再假設呢句新命題係啱。
  3. 利用呢條假設,推斷啲野出嚟。
  4. 搵下有咩矛盾。
  5. 如果個假設引致矛盾,咁就可以話個假設係錯。咁嘅話個假設嘅相反-即係想證明嗰句命題-就會係啱。

更多例子[編輯]

以下命題係可以用反證法嚟證明:

  • 嘅值係一定少過
  • 對所以嘅整數 ,如果 係單數,咁 都係單數。

睇埋[編輯]

參考[編輯]

  • Beth, E. W. (1970). Proof by Contradiction. In Aspect of Modern Logic (pp. 30-41). Springer Netherlands.
  • Antonini, S., & Mariotti, M. A. (2006). Reasoning in an absurd world: difficulties with proof by contradiction. In Proceedings of the 30th PME Conference, Prague, Czech Republic (Vol. 2, pp. 65-72).