反證法

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反證法(Proof by contradiction),又叫做證偽法矛盾證明,係一個證明啲嘢係唔啱嘅方法。

亦有人叫佢做「reductio ad absurdum」,意思係推斷出不合理,英文係指「reduction to the absurd」。

呢個方法嘅橋妙係咁嘅:首先整一個「命題」,然後就當正呢個「命題」(1)係啱嘅;跟住就用呢個「命題」(1)做一啲,只要(1)啱,就一定會發生嘅「事」(2)或者成立嘅「推論」(3);最後就指出(2)或者(3)係唔會發生或者唔成立嘅,咁就可以證明(1)係錯嘅。

真值表[編輯]

反證法可以以真值表證明:因為 係真(T)嘅,但 q 係假(F)嘅,所以 p 嘅值只可能係假。

推論
T T T
T F F
F T T
F F T

簡單例子[編輯]

假設係一個單數,咁都係一個單數。

證明:

假設係一個單數,再假設都係一個雙數。

即係對應有啲。計算

明顯唔係一個雙數,所以同前提矛盾。因此,佢係單數。

進階例子[編輯]

唔存在兩個正整數乎合。呢個證明需要用到分類證明

證明:

假設有兩個正整數符合

利用,得知

如果淨係睇整數,只可以係

如果係,即係

由此,。(矛盾:因為唔可能有一個數係比一更細。)

如果係,即係

由此,。(矛盾:更無可能,因為要求整整數。)

總括所有可能,假設都係唔成立,所以一定唔存在

非有理數[編輯]

可以利用矛盾證明嚟證明:「非有理數。」

證明:

假設可以寫成有理數。即係都係整數。

(進一步假設係已經約咗簡,費事有約數嘅麻煩。)

由上面得出,係雙數。

假設係單數,利用簡單例子嘅定理,咁一定係單數。(矛盾:因為係雙數。)

所以,係雙數,而且可以寫成係一啲整數。

利用上面,再總結得出係雙數,而且可以寫成係一啲整數。

因為,假設係已經約咗簡,所以唔可以有另一個

所以唔可以寫成有理數。

可以利用呢個步驟推出質數,都唔係有理數

矛盾證明步驟[編輯]

  1. 寫低要證明嘅句子
  2. 再寫低佢嘅相反,假設佢係啱。
  3. 利用你假設嘅嘢,推斷啲野出嚟。
  4. 搵下有咩矛盾。
  5. 解釋矛盾。

更多例子[編輯]

以下命題係可以用反證法嚟證明:

  • 嘅值係一定少過
  • 對所以嘅整數,如果係單數,咁都係單數。

睇埋[編輯]