應用數學

「揀邊條路行最快」涉及應用數學。

應用數學jing3 jung6 sou3 hok6（英文：Applied Mathematics）係數學嘅分支，研究點樣將數學應用到其他範疇，同純粹數學相反。

數學分析

數學分析（mathematical analysis）重點在於研究極限（limit）同相關嘅概念：喺數學上，一個函數有極限值即係指，隨住個函數嘅輸入值趨近某個值，個函數嘅輸出值會趨近另外一個值，可以用公式想像成

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

上述呢條式係指「隨住輸入值 $x$ 嘅值趨近 $c$（$x\to c$），$f$ 呢個以 $x$ 做輸入值嘅函數嘅輸出值（$f(x)$）會趨近 $L$」。呢個概念可以用嚟分析複雜嘅函數，好似係附圖嗰條線噉，條線就噉望落似係曲嘅，而家將條線喺 $({\text{c}},{\text{L}})$ 嗰點斬開，$({\text{c}}-\delta ,{\text{L}}-\epsilon )$ 同 $({\text{c}},{\text{L}})$ 之間嗰一細橛望落比較似一條直線，即係話－

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=$ 一個恆定嘅數值；

喺條式當中，$\Delta x$ 係指 $x$ 喺某兩點之間變咗幾多，而 $\Delta y$ 同理係指 $y$ 喺嗰兩點之間變咗幾多。上述呢條式講嘅係，無論一條線幾咁曲都好，如果將條線斬到極細，就可以將每一極細橛想像成直線（斜率有個特定數值），而呢個諗頭亦係微積分（calculus）嘅理論基礎。除咗微積分之外，數學分析仲會著手研究實數函數、複數函數、逼近理論同埋諧波分析等等嘅課題。

數學分析嘅用途廣泛得好交關：自然科學上研究嘅各種自然現象同埋工程學上研究嘅人造系統都可以用函數嚟描述；例如物理學就好興用函數嘅方法表達佢哋啲定律，所以數學分析上嘅方法能夠幫到手理解呢啲函數同埋按呢啲定律設計出嚟嘅人造系統。

運算理論

圖靈機嘅大致實現；部機會一路讀取條帶上面嘅一格，並且對嗰個格作出運算，再決定
(1) 使唔使改嗰格，同埋
(2) 跟住要向左郁定向右郁。

運算理論（theory of computation）專門研究機械點樣用演算法解難。運算理論會用數學證明等嘅方法，嘗試思考唔同種類嘅理論性運算機械喺解難能力上有乜差異（自動機理論）、有啲乜嘢問題係能夠（或者唔能夠）用運算機械解嘅（可運算性理論）以及一個運算上嘅問題最高嘅可能解決效率（運算複雜度理論）等等嘅問題。

用一句嘢概括嘅話，運算理論主要思考嘅係呢個問題：

「

電腦（運算機械）嘅基本能力同極限係乜？

」

運算理論會攞一啲運算模型（一個運算模型會描述一部機械點由輸入嗰度計個輸出出嚟）嚟將運算機械概念化。當中喺廿一世紀最常用嘅運算模型係所謂嘅圖靈機（Turing machine；個名取自著名數學家亞倫圖靈），圖靈機可以想像成一部噉嘅機械：部圖靈機會讀取一條分做若干個格嘅帶，每個格裏面都會有個符號（1 同 0 等）；喺每一個時間點，部圖靈機個讀取器都讀住其中一格，並且會做以下三個基本作業嘅其中一個：

1. 讀取讀取器下嗰格有乜符號；
2. 編輯嗰格－寫一個新嘅符號落去或者刪除咗嗰格佢；
3. 將條帶向左或者向右移一格，等個讀取器可以讀取打前嗰個格隔蘺嘅一個格。

圖靈機呢部抽象機械就噉睇好似好簡單，但查實可以計到好多嘢，好似簡單嘅加減數噉，而有咗加減數，就可以計到好多嘢。好似圖靈機等嘅概念性機械就係運算模型，運算理論家會思考唔同種類嘅運算模型，以及剖析呢啲運算模型喺解難能力上有乜分別，加深人對運算同電腦嘅理論性了解。

概率論

輪盤（上）、掟銀仔（左下）同擲骰仔（右下）一般都俾人認為係本質上隨機性嘅事件。

概率論（probability theory）研究概率。概率係指一件事件有幾可能係真，1 代表件事實會發生，0 代表件事實唔會發生，而 0.5 就代表件事「有 50% 機會發生」；例如家陣掟一個銀仔，假設個銀仔冇出千嘅話，應該會有 50% 機會出公、50% 機會出字，而呢件事嘅結果（公定字）原則上係冇可能預測嘅，反映咗不確定性（uncertainty）。

喺概率論史上，「概率呢個數值要點樣理解」係一個有相當爭議性嘅問題：喺最基本上，古典嘅決定論（determinism）主張，如果一個觀察者喺而家呢一刻完美知道嗮宇宙嘅狀態（例：知道每粒原子喺乜位置同以乜嘢速度郁緊等等），佢將會有能力靠物理定律－假設佢識嗮所需嘅物理知識－完美預測宇宙下一刻嘅狀態，所以概率淨係反映人類知識唔夠，而主張呢個觀點嘅人會話「人之所以預測唔到掟銀仔嘅結果，係因為人知唔嗮風向等嘅資訊」。不過廿世紀量子力學研究指出，宇宙裏面有部份嘅事件似乎係本質上就冇可能完全準確噉預測嘅，人頂嗮櫳都淨係有得估呢啲事件發生嘅概率。

喺廿一世紀初，概率論經已成為咗一個重要嘅數學理論。例如統計學就係建基於概率論嘅，而概率同相關概念喺機械學習（教人工智能學習同處理不確定性嘅技術）同埋遊戲設計（可能會涉及設計帶有隨機性嘅遊戲）上都有用。

博弈論

博弈論（game theory）專門研究理性嘅決策者之間嘅互動：博弈論會將一場博弈（a game）想像成一件數學上嘅物體，一場博弈由某啲規則同若干個參與者組成，每個參與者手上都有一柞可能選擇同埋特定嘅資訊，而對於一個參與者嚟講，佢每一個選擇都會引致某啲得失，呢啲得失由場博弈嘅規則話事；每一個參與者會想令自己嘅利益最多，並且按照呢條原則做決策。捉棋、打機以至國際關係等好多嘅現象都涉及博弈，而原則上，所有人類之間嘅互動都可以想像成博弈，所以博弈論能夠應用落去所有嘅社會科學－尤其係經濟學同政治學等－嗰度，解釋各式各樣嘅社會現象。到咗廿一世紀，就連邏輯學、生物學同電腦科學都會用到博弈論。

除咗俾人攞嚟做解釋性（explanatory）嘅研究，博弈論仲有俾人用嚟做一啲規範性（normative）嘅研究：有學者運用博弈論嚟分析喺某啲情況（例如係某啲使錢上嘅決擇）之下，一個參與者有邊啲選擇同埋應該要點樣做決策先至可以令到自身利益最多－有好多經濟分析師都興用博弈論分析企業彼此之間喺市場上嘅鬥爭，並且用呢啲分析嚟向企業提供營運方面嘅建議。

博弈論源於廿世紀初：博弈論係喺廿世紀上半橛由馮紐曼（John von Neumann）等嘅數學家諗出嚟嘅，打後呢個理論喺廿世紀中期俾經濟學家同生物學家用嚟分析佢哋各自嘅領域當中嘅現象，而且仲有多個經濟學家靠住佢哋用博弈論對經濟現象進行嘅分析攞到諾貝爾經濟學獎。到咗今日，博弈論上嘅發展令到佢出咗大量嘅專有概念同子理論，成為咗一門獨立於第啲應用數學領域嘅領域。

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