量子力學

量子力學下嘅氦原子模型：原子核周圍嗰嚿係「電子雲」，表示「粒電子响嗰個位嘅機率」。

量子力學loeng6 zi2 lik6 hok6（英文：quantum mechanics），粵文又叫量子物理學loeng6 zi2 mat6 lei5 hok6（quantum physics）或者量子理論loeng6 zi2 lei5 leon6（quantum theory），係物理學上一套理論，重點在於

「

描述大自然响微觀尺度－啲嘢得原子同再細粒啲嘅粒子咁大－嘅物理特性。

」

量子力學源於對古典物理嘅質疑：事實表明，古典物理理論能夠有效噉預測同解釋宏觀尺度（明顯大過原子一截）下嘅自然現象－例如牛頓力學就能夠好準噉計到蘋果（一嚿明顯大過原子嘅物體）由樹上面跌落嚟嗰陣速度等變數嘅變化；不過廿世紀初嘅好多實驗都表明，有好多原子現象都係古典物理解釋唔到嘅，用古典物理啲式計呢啲嘢會完全做唔到準確嘅預測。

於是有班後生物理學家就想諗套新理論出嚟，解釋古典物理解釋唔到嗰啲現象，最後形成量子力學理論。呢套理論根本上噉改革咗人類對物質同能量嘅理解：根據呢套理論，能量唔係好似古典物理講嘅噉係連續，而係成量子（^複數quanta）嘅－噉講意思係話，能量唔係「砍幾細件都得」嘅，一件帶有能量嘅嘢身上嘅能量值，實係某啲常數嘅倍數；簡化噉講，班物理學就基於呢個諗法，推理咗拃式出嚟，而拃式能夠準確噉預測到打前解唔到嗰啲現象。

到咗廿一世紀初，量子力學已經成為咗相對論並列嘅現代物理兩大支柱，有好多原子世界嘅現象都要靠量子力量先解釋到。到咗依家，除咗廣義相對論描述嘅重力之外，基本嗰啲物理作用冚唪唥都可以用量子力學嘅框架嚟理解。

背景

2022 年嘅不列顛百科全書係噉樣描述 quantum mechanics（量子力學）呢隻英文詞嘅：

「

原版英文："quantum mechanics, science dealing with the behaviour of matter and light on the atomic and subatomic scale." 粵文翻譯：量子力學，（係）科學一門，應付物質同光响原子同次原子尺度下嘅行為。

」

响 19 世紀上半橛，科學界確立原子論（atomic theory），主張物質冚唪唥都係由原子組成嘅。原子論研究表明，原子（由人類角度睇）極之細粒，例如

• 一粒電子（electron；原子最重要嘅組成粒子之一）嘅質量估計得 9.1093837015 × 10^-31 kg（即係 0.00000000000000000000000000000091093837015 kg）咁輕；
• 而質子（proton；另一種原子嘅重要組成粒子）明顯大粒啲，不過同電子比起嚟都淨係大 1,836 倍左右；

－啲數值如果用科學記數法嚟寫，閒閒哋去到 10^-30 嗰種極微數量級。

確立咗原子論，物理學同化學等領域嘅研究者跟住就自自然然想建立理論模型，描述原子同埋組成原子啲粒子（質子同電子呀噉）嘅特性。如果由最簡單嗰個方向諗，佢哋大可以直程將打前嗰拃理論（例如牛頓力學）用落去描述呢啲粒子，不過實證研究表明，呢啲理論雖然能夠有效噉預測宏觀尺度（啲嘢大粒過原子一截）下嘅物質嘅行為，但完全唔能夠準確噉預測原子等微觀粒子嘅行為（下面講詳情）。於是當時嘅科學家就想搵新理論，解釋呢啲打前嘅理論解釋唔到嘅現象。

光電效應

光電效應（photoelectric effect）係早期量子力學研究當中最出名嘅現象之一。

喺 19 世紀尾，科學界已經知某啲金屬對光同紫外線等嘅電磁波（EM wave）敏感，畀光射到嗰陣會有電子由嚿金屬嘅表面嗰度射出嚟。噉想像家吓將嚿金屬駁住咗條電路（睇下圖幅抽象圖解），當中

• 發射極係射電子嗰嚿金屬；
• 光電子係發射極因為界光射到而射出嚟嘅電子；

電子係帶電荷嘅粒子，古典電磁學上已知帶電荷嘅流動就會有電流；而德國物理學家亨利希赫茲（Heinrich Hertz）喺 1887 年做嘅實驗表明，噉嘅設定會引致條電路度有一股電流出現－呢種現象就係所謂嘅光電效應。

光電效應實驗：喺呢場實驗裏面，實驗者將一束光射落去兩支電極度，跟住兩支電極入面嘅電子就會吸收能量、掙脫佢哋所屬嘅原子、喺個電路入面流動，產生電流。實驗者仲可以試吓用個電源施一股相反方向嘅電壓（可變電源嗰忽），睇吓要施個幾勁嘅反向電壓先可以令到光電效應所產生嘅電流冇嗮。

物理學家一深入啲剖析光電效應實驗睇到嘅嘢，就發覺有啲唔對路。佢哋嘗試用電源，施一股股同光電子引起嘅電流相反方向嘅電壓（古典電磁學已知，噉做會令股電流變弱），設

• $I$ 做束光嘅強度（詳情可以睇埋波動等嘅概念）；
• $f$ 做束光嘅頻率；
• $i$ 做啲光電子引起嘅電流；
• $V$ 做電源施加嗰股反向電壓；

然後再考慮埋停止電壓（stopping potential，$V_{s}$）嘅概念：想像而家一場光電效應實驗設好嗮，光射緊落嚿金屬度，電子射緊出嚟（$i$ 有個非 0 嘅值）；跟住研究者施加個 $V$，而且慢慢噉將 $V$ 數值提升，隨住 $V$ 數值升，$i$ 數值會跌，而 $V$ 數值去到某個點，$i$ 就變咗 0－呢點個 $V$ 值就係所謂嘅停止電壓。

對於光電效應實驗，用古典物理嘅角度嚟諗嘅解釋就係（簡化講）「電子由光嗰度吸收咗能量，掙脫原子核嘅束縛，飛出嚟」，而且呢套理論框架仲起碼會作出以下呢幾樣預測：

• $V_{s}$ 理應會同 $I$ 成正比；
• $V_{s}$ 理應會同 $f$ 冇啦掕；
• 古典物理話能量係砍做幾細件都得嘅，所以「無論射落去支電極度嘅光幾咁弱（$I$ 數值幾咁細），都梗會有些少電子吸到足夠嘅能量飛出嚟，產生電流」。

不過實驗結果發現嘅係：

• $V_{s}$ 同 $f$ 有關；
• $V_{s}$ 同 $I$ 冇啦掕；
• 如果 $f$ 低過某個特定嘅數值（門檻值；threshold，$f_{t}$），無論 $I$ 幾高，$i=0$；

－呢啲發現同古典物理講嘅嘢完全相違背。

然後有新進物理學家（好似係愛因斯坦）就提出咗個當時好革命性嘅諗頭：

「

光，好似原子等嘅粒子噉，係一嚿嚿（in discrete small packets）嘅，係所謂嘅光子（photon）：光子係一粒粒、冇得砍件嘅嘢，而一條光束入面每『件』能量嘅大細同條光束嘅頻率成正比。

」

愛因斯坦仲有條式，計到一粒光子嘅能量（$E$）同佢個頻率之間嘅關係：

$E=h\nu$；$[1]$

喺呢條式入面，$\nu$ 係粒光子嘅頻率。根據愛因斯坦嘅諗法，如果 $\nu$ 令到粒光子嘅能量超過咗個門檻值，噉佢撞落去屬於嚿金屬嘅一粒電子度嗰陣，會將佢嘅能量傳畀嗰粒電子，令到嗰粒電子成功噉擺脫佢所屬嗰粒原子飛出嚟。即係話：

$h\nu =E_{\mbox{w}}+{\frac {1}{2}}mv^{2}$；$[2]$

條式入面左邊嗰橛係「粒光子帶嘅能量」，而右邊嗰橛就係「一粒電子要擺脫嚿金屬所需嘅能量」（$E_{\mbox{w}}$）加埋「佢飛咗出嚟後帶有嘅動能」（${\frac {1}{2}}mv^{2}$）。將 $[2]$ 執吓嘅話會出：

$h\nu -E_{\mbox{w}}={\frac {1}{2}}mv^{2}$；$[3]$

根據愛因斯坦嘅諗法，如果 $f<f_{t}$，每粒光子帶嘅能量就過唔到 $E_{\mbox{w}}$，噉佢撞落粒電子度嗰陣，粒電子擺脫唔到嚿金屬。佢嘅諗法仲會進一步預測，用條式有得計出 $V_{s}$ 嘅值：

${\frac {1}{2}}mv^{2}=V_{s}e$；$[4]$

跟住執吓啲式：

$h\nu -E_{\mbox{w}}=V_{s}e$；$[5]$

即係話，如果 $\nu$、$E_{\mbox{w}}$ 等係已知嘅數值，噉呢條式可以計到相應嘅 $V_{s}$。用日常用語講：如果家陣有場光電效應實驗，而佢嗰束光頻率已知，而且研究者由第啲實驗度知道咗 $E_{\mbox{w}}$ 同 $e$ 呢啲數值；噉研究者就可以計出相應嘅停止電壓嘅數值。由呢度睇得出，愛因斯坦嘅假說可以做到有得用實驗驗證嘅預測，係一個有可否證性嘅諗頭。事實係，最後啲實驗結果係撐愛因斯坦個諗法嘅。

原子結構

盧瑟福模型嘅想像動畫

喺廿世紀初頭嗰陣，盧瑟福模型（Rutherford model）係最畀人接受嘅原子模型。呢個模型話，喺一粒原子入面，啲帶負電荷嘅電子就好似行星圍住太陽轉咁樣，圍住粒帶正電荷嘅原子核嚟行，而喺呢個過程入面，粒原子核入面嗰啲正電荷對粒電子產生嘅吸引力同埋粒電子受嘅離心力要保持平衡，粒電子先至唔會走位。

但係啲物理學家諗諗吓發覺呢個模型有啲嘢係佢解唔通嘅。首先，按照古典電磁學，呢個模型係唔穩定嘅。因為粒電子喺佢運轉嘅過程度係咁受住股力，所以會有個非零嘅加速度（詳情睇古典力學），而古典電磁學理論話佢跟手就會透過射無線電波出嚟並且喪失能量，好快就會撞落粒原子核嗰度－但係呢樣嘢喺現實世界嗰度並冇發生到，咁即係話古典電磁學有問題。

除咗咁，物理學家又有做實驗研究原子嘅發射光譜（Emission spectrum）－當一個元素通過受熱等嘅方式受到激發嗰陣時，佢當中嘅電子會吸能量並且即刻以電磁波嘅型式射返啲能量出嚟，令到個元素射出嚟嘅電磁波當中某啲頻率嘅強度會提升，而呢啲射返出嚟嘅電磁波形成嘅光譜就係發射光譜。根據呢柞研究，原子嘅發射光譜冚唪唥都係由一迾迾離散（Discrete）嘅發射線組成嘅。呢點由古典物理學嘅角度嚟睇好唔對路，因為古典物理學話能量呢家嘢係砍幾細件都得嘅，所以古典理論會咁樣預測：佢會話當一個元素受到激發嗰陣，（因為佢話能量係砍幾細件都得嘅）個元素當中啲原子粒粒吸嘅能量都會有些少唔同，（因為一束電磁波帶嘅能量同佢嘅頻率成正比）所以粒粒原子射返出嚟嘅電磁波頻率都會有啲唔同，於是成個元素整體應該會產生一個連續（Continuous）嘅發射光譜。但係呢個預測唔乎合響實驗度睇到嘅結果－咁即係又表示古典物理學呢個理論有景轟。

氫元素嘅發射譜線；佢係由一迾離散嘅發射線組成嘅。

玻爾模型

玻爾模型嘅想像圖；根據玻爾模型，圖入面嗰粒電子（藍色嗰粒嘢）只能夠喺 $n=1$ 同埋 $n=2$ 等嘅幾條特定軌道上面行，而冇得喺呢啲軌道之間嘅空間運行。

喺 1913 年，丹麥嘅物理學家玻爾（Niels Henrik David Bohr）提出咗玻爾模型（Bohr model），引入咗「能量係量子化」呢個諗頭嚟到去解釋原子結構。呢個模型話電子只能夠喺有住某啲特定能量值嘅軌道上面行，而一粒電子由一個高能量嘅軌道（有住 $E_{n}$ 咁多能量）跳落去一個低能量嘅軌道（有住 $E_{m}$ 咁多能量）嗰陣時，佢射出嚟嘅電磁波嘅頻率（$\nu$）等如

$\nu ={\frac {E_{n}-E_{m}}{h}}$；$[6]$

同一道理，一粒電子如果吸咗頻率等如 $\nu$ 嘅電磁波，佢會曉由 $E_{m}$ 嘅軌道跳上去 $E_{n}$ 嘅軌道。呢個諗頭有得用嚟解釋發射光譜嘅離散特徵：根據玻爾呢個諗法，一粒原子入面啲電子嘅軌道係離散嘅，一粒電子只能夠喺某幾條特定嘅軌道上面行，冇得喺啲軌道之間嘅位置行，咁即係表示如果一粒電子要郁去第條軌道嗰度，咁佢一定要吸收或者釋放某啲特定數值嘅能量－多啲少啲都唔得。所以當有條電磁波射落去一個元素入面嗰陣，佢裏面嗰啲電子淨係會吸某一啲頻率嘅電磁波－解釋得到點解會有離散嘅發射光譜。

物質同能量

電子嘅雙縫實驗；一束電子通過兩條罅嗰陣會好似波動咁有干涉現象。

波動（Wave）係指傳送能量嘅擾動，包括咗聲重有係光等嘅電磁波。能量同埋粒子不嬲都畀人認為佢哋係完全唔同嘅兩樣嘢嚟嘅。但係喺 1924 年，法國物理學家路易·德布羅意（Louis de Broglie）發表咗篇博士論文提出，粒子具有某啲本嚟以為係波動先至會有嘅性質。佢話粒粒粒子都有個波長（Wavelength；波動嘅一種性質），而且一粒粒子嘅波長重有得用呢條式計出嚟：

$\lambda _{Broglie}={\frac {h}{p}}$；$[7]$

$\lambda _{Broglie}$ 係粒粒子嘅波長，而 ${p}$ 係佢嘅動量（Momentum）。

電子嘅波動特性可以用雙縫實驗（Double-slit experiment）展示出嚟。喺呢個實驗入面，啲物理學家用支電子槍射束電子落去一塊有兩條好幼嘅罅嘅平面嗰度，而跟住落嚟觀察到一個意想不到嘅現象：束電子通過兩條罅，並且最後撞落去一塊屏幕上面，喺個屏幕上面形成一個干涉形狀－干涉（Interference）係一種波動嘅現象，指當有兩條波動喺空間入面某一個位置嗰度相遇嗰陣時，佢哋會互相增強或者抵消，例如係有兩條有住某啲特定相干性（Coherence）嘅光，如果佢哋同時照落去一個屏幕嘅某一點上面，佢哋會互相增強或者抵消。如果有個光源嘅光通過兩條好幼嘅罅，而通過呢兩條罅嘅光分別咁射落去一個屏幕上面嗰時，喺個屏幕上面嘅某啲點度兩條光會互相抵消，喺佢某啲點度兩條光會互相增強，造成個屏幕上面某啲點會光啲某啲點會暗啲。一般古典物理學都認為干涉係波動－能量嘅擾動－先至會有嘅行為，但係電子嘅雙縫實驗顯示咗電子－物質嘅一種－都有干涉現象，打破咗物理學界對電子嘅既有認知。

物質波（Matter wave）呢個概念就係講緊物質同能量喺本質上係同一樣嘢，所以每一件物質都會有同佢相應嘅物質波。

一粒氫原子嗰粒電子喺唔同能量級之下嘅波函數；量子力學說明咗要完全準確咁預測一粒粒子嘅位置係冇可能嘅，淨係有得計嗰粒粒子喺唔同位置嘅機會率。喺呢幅圖入面，愈光嘅地方表示粒電子喺嗰度嘅機會率愈高。

由上面嘅討論入面睇得出，古典物理學一般都認為物質同能量係兩樣完全唔同嘅嘢，但係實驗顯示咗，有一啲本嚟諗住佢哋係能量嘅嘢具有物質先會有嘅特性－例如係光電效應展示咗嘅，能量好似物質咁，唔係話砍幾細件都得嘅；而一啲本嚟諗住佢哋係物質嘅嘢具有能量先會有嘅特性－電子雙縫實驗就顯示咗電子好似波動咁，曉做干涉－即係所謂嘅波粒二象性（Wave–particle duality）。啲算式亦都反映咗呢點：$[7]$ 呢條式入面就同時包含咗波長（一個能量先至會有嘅物理量）同埋動量（一個物質先至會有嘅物理量）。所以呢柞研究打破咗物理學界傳統「能量同物質係兩樣唔啦更嘅嘢」呢個諗法，並且令到量子力學呢個新理論誕生。

幅射研究

黑體輻射

假設而家有舊温度喺開氏 10⁻³ 度嘅黑體喺度射黑體輻射。幅圖嘅 X 軸做電磁波嘅頻率，Y 軸表示黑體輻射嘅光譜喺各個頻率嘅光度。三條線代表三條定律分別嘅預測：普朗克定律（綠）、維恩定律（藍）、同瑞立-金斯定律（紅）－實驗結果最後係撐普朗克定律嘅。

一舊理想嘅黑體（Black body）能夠將射落去佢表面嗰度嘅電磁波（包括光）冚唪唥吸收嗮，並且跟手將呢啲帶有能量嘅波動轉化做熱輻射射返出嚟－喺一舊温度唔變嘅黑體射出嚟嗰啲熱輻射就係所謂嘅黑體輻射（Black-body radiation）。一舊黑體射出嚟嘅黑體輻射可以包含多個唔同頻率嘅電磁波，而一舊黑體射啲乜嘢頻率嘅波淨係同佢嘅温度有關，同佢嘅物料冇關。

啲物理學家由古典物理學嗰度推導咗兩條物理定律出嚟，諗住佢哋可以描述到黑體輻射：維恩定律（Wien's law）同埋瑞立-金斯定律（Rayleigh–Jeans law），但係兩者做出嚟嘅預測都同實驗嘅結果唔夾，維恩定律喺低頻區域同實驗結果衝突，而瑞立-金斯定律就喺高頻區域度同實驗結果衝突；瑞立-金斯定律更加衰嘅係，佢預測咗「一舊黑體，愈係高頻率嘅電磁波佢就會射愈多出嚟」，即係話如果佢係啱嘅，咁有一舊黑體，頻率愈近無限大嘅紫外線，佢就會射愈多出嚟－會形成紫外災難（Ultra-violet catastrophe）－但係紫外災難喺現實世界好明顯並冇發生到，咁又再一次引證咗瑞立-金斯定律係錯嘅。由呢度睇得出，由古典物理學嗰度推導出嚟嘅嘢同現實所觀察到嘅數據唔夾－咁即係意味住古典物理學呢個理論有問題。

後嚟，德國嘅物理學家普朗克（Max Planck）重新諗過維恩定律等嗰時已知嘅物理定律，得出咗條普朗克公式（Planck's law）：

$E_{n}=nh\nu$

喺呢度，$E_{n}$ 係能量，$n$ 係正整數，$h$ 係普朗克常數，$\nu$ 係電磁波嘅頻率。

呢條公式同實驗數據完美咁吻合。但係普朗克喺推導出呢條公式嗰陣時，佢發覺佢一定要將能量當成離散（Discrete）嘅數值－由呢條式度都睇得出，能量實係電磁波頻率嘅某啲整數倍數，一個可能嘅解讀係，能量係一舊舊冇得砍件嘅粒子，而每粒帶嘅能量都同佢個頻率成正比。呢點同古典物理學又唔夾。

應用

• 量子運算

睇埋

• 現代物理

拎

• Introduction to Modern Physics (PDF).
• Quantum mechanics. Encyclopedia Britannica.