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用蘋果嚟表示

(Addition)係數學運算一種,一般習慣會用「」呢個符號嚟表達,呢個符號又叫做「加號」。加法係四個基本算術運算嘅其中一個(其餘係)。

加法係將兩個量加埋做一個量嚟表示嘅運算。意指將兩組嘅量合併做一組嘅意思。假設左面有個蘋果,右面有個蘋果,將呢兩個量合併一齊,就總共有個蘋果。利用數學式嚟表達,就係。(講法係,三加二等於五。)而兩個數加埋得到嗰個數就叫做「和」(Sum)。

加法除咗係日常生活數下物件之外,喺數學上,可以處理整數有理數實數虛數向量矩陣等數學物件。而日常生活嘅加法,係可以應到任何算術,例如分數加法、有向數等,但係去高等數學加法未必係日常加法。

如果利用高等數學嘅角度嚟睇,加法呢個處理有幾個重要嘅代數性質,例如係可溝通性(Commutative),即係話處理加法嘅次序唔影響結果;結合性(Associative),即係話處理多幾個數字,個次序都唔影響結果。又例如話,當你係到數緊物品嘅時候,其實你係進行緊加法,不停咁喺度加。加法嘅相反係減法。如果不停咁加咁多次,咁就係一個乘法

加法係最簡單嘅數字運算,基本上加法係好多有智慧嘅生物都可以處理,例如世界上最簡單嘅加法,係簡單到連一個五個月大嘅小朋友或者非人類嘅生物都會識做。喺小學階段,基本上人人都會由十進制嘅加法學起,再去學解決其他進階嘅難題。而電腦科學家就研究點樣令到電腦做到加法。

基本加法[編輯]

加號(Plus Sign)

基本加法,又叫做日常加法(Usual Addition),係日常用到嘅加法。一般應用係數物件同算術。加法一般習慣用「」,即係「加號(Plus Sign)」嚟表示。呢個符號一般會放喺兩個數字之間,用作將呢兩樣嘢加埋嘅意思,呢個表達方法叫做中綴表示法。例如:。例外有前綴表示法後綴表示法。而「」,等於(Equal Sign)就係將個結果表示出嚟。而個結果一般就會叫做「和」。

例子[編輯]

  • (一加一等於二)
  • (二加二等於四)
  • (三加三等於六)
  • (結合性)
  • 乘法

好多時,熟習咗加法乘法之後,有好多人會將寫成,咁樣就計錯數。

偷懶情況[編輯]

有好多人慣咗加法之後,就唔會寫加號嚟表示加法。

直式加法:

例如做直式加法嘅時候,好多人都懶得去寫個加號去表示佢做緊加法。好似右邊幅圖咁,將並排好加好之後得出。明顯,係做加法,但係都無見過加號嘅出現。

分數入面,帶分數就係一個偷懶嘅例子,例如:,就係指。有人話呢個表達方式好容易同乘法混淆。

喺高等數學入面,連續加埋同一舊嘢寫出嚟都幾麻煩,所以就有咗級數呢樣野。級數係可以表達一個有套路有規列嘅加法。例如:

。日常生活都有好多偷懶嘅例子,例如帳單、月結單。上面都係無加號,但係大家都知道係做緊加法。

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將要處理加法嘅嘢就叫做項(Term),例如就係項。喺級數入面就係項。英文項有幾個叫法「Terms」、「Addends」、「Summands」。有人叫第一個項做「Augend」。喺文藝復興時期,好多人都唔覺得第一個項係項。而到今時今日,都無咩人去分第一個項定係第二個項,總知大家都係項,冇再分得咁細。

加嘅由來[編輯]

「加」,根據粵語審音配詞字庫,讀「gaa1」或者「gaa3」。說文解字解釋,「加:語相增加也。從力從口。古牙切」原指講嘢假,加鹽加醋。之後演變到有增加嘅意思。喺兩漢之間,周髀算經已經有講解四則運算。

而英文嘅加法用字基本上都嚟自拉丁文。英文「Addition」係源自拉丁文動詞「Addere」,呢個字係「加去」同「比」嘅合字。而「Sum」就係源自「Summare」,係一個名詞指嘅係「最高,最勁」,因為兩個數相加,係一定大過之前嗰兩個數,但係呢個概念引用到古希臘古羅馬人,但係到咗現代加法係可以加返轉頭,個數愈加愈細。

加號「」係拉丁文「et」嘅簡寫,意思係「add」。佢早喺1489年,已經出現喺當時嘅有關數學嘅文章入面。

加法性質[編輯]

可溝通性[編輯]

利用圖案表示

加法係可溝通嘅,即係話進行加法嘅次序唔影響加法嘅結果。利用數學式表示就係:

都係一個數字。

呢個法則又叫做「加法嘅溝通法」。但係同時,有好多其他嘅二元運算唔係可溝通嘅,例如:減法除法,矩陣乘法。

結合性[編輯]

用圖片表示

加法係可以結合嘅。當你要加兩個到三個,或者有限咁多個,咁多個數字嘅時候,做加法嘅次序唔會影響結果。如果有三個數字要加嘅時候,用數學式嘅表達係,先做,得出結果後再做。但係呢個出嚟嘅結果係會同先做,再做係一樣。得出結論係:

舉個實例,

但係當你做四則運算嘅時候,加法嘅次序就會有所影響。加法多數都係最後會做嘅處理。

恆等元[編輯]

利用圖案表達

所謂嘅恆等元,就係一粒嘢,你令佢嚟同另一粒嘢做加法,出嚟個結果係不變。

如果根據呢個講法,好明顯就係日常加法嘅恆等元。因為咩嘢加零,個數值都係唔變。利用數學式表示就係:

就係任何數字。例子:,就好似右手面張圖咁,一個袋入面有粒嘢,另一個袋入面無嘢,將兩個個袋入面嘅嘢加埋一齊,都係得粒嘢。

呢個性質早喺公元前628年,由婆羅摩笈多發明。當時佢喺著作Brahmasphutasiddhanta呢本書入面將以上嘅性質用正數、負數同零用自己文字表達一次,而唔係用現代嘅代數表達方式講出嚟。去到830年左右,另一個印度數學家馬哈費亞(Mahavira)將個概念再寫多一次,佢話:「零加任何嘢都係加佢嗰嚿嘢。」換句話講即係。到咗12世紀,印度數學家婆什迦羅二世又話:「如果用加法嚟睇,加零,減零,無論係正數加,負數加,都係一樣。」換句話講即係

單位[編輯]

如果做日常加法,單位唔同係唔可以加埋一齊。舉個例子,蚊同毫大家都係錢,但係就唔可以將佢加埋做蚊,毫或者係蚊毫。但係就可以加埋之後寫成(單位:元,讀三個三)。換一個例子:個橙加個橙就會得出個橙;但係個橙加個蘋果就一定要寫成個生果。

同樣,進行實質物品或者距離上嘅加法,物品或者個數字嘅單位係必須要一致。例如:厘米同厘米可以相加,但係同毫米就唔可以。如果想將佢哋兩個相加,就必須要將兩個數嘅單位換成一樣,例如將厘米換成毫米,或者將毫米換成厘米。詳細可以參考物理嘅量度分析(Dimensional Analysis)。

學習加法[編輯]

天生就識[編輯]

喺1992年,美國心理學家Karen Wynn做咗一個基礎實驗,佢將一班BB仔帶到去螢幕前面,而呢班BB仔就用螢幕顯示嘅米奇老鼠公仔去進行加法實驗,而呢個實驗證明咗一個五個月大嘅BB仔個腦入面係期望住係會等於。最令人覺得出奇嘅係,喺呢個實驗入面,科學家係將個情況整到好似係會等於或者

另一個實驗,就用咗一班大啲嘅BB仔,約莫18到35個月大,佢哋用係箱抽乒乓球呢個實驗發現,呢班BB仔入面最細嗰個,可以做到簡單數字上嘅加法,而最大嗰班就可以做到以下嘅加法。

唔係人類嘅生物都會識得做加法,最出名嘅例子就有靈長類動物。喺1995年就有一個模仿1992年嗰次實驗嘅實驗,佢哋用茄子代替公仔,有兩類猿可以做到同人類BB仔相似程度嘅加法。有人教咗一隻黑猩猩阿拉伯數目字,之後呢隻黑猩猩唔使人教,就自己識做兩個數字嘅加法。最近,有發現亞洲象都識做簡單加法。

幼兒學習[編輯]

基本上,BB仔多數都係識數嘢先。一般嚟講,佢哋被要求將兩樣或者三樣嘢合埋一齊嗰時,班BB會趨向用睇得到嘅方法或者物質上嘅方法去處理呢個問題,例如係話數手指,畫畫咁。當佢地開始適應用數數嗰時,佢哋會直接由嗰一個數開始,再用手指數,例如:直接就三數起:「三、四、五」。而呢個都係最自然嘅學習加法嘅技巧,因為呢個方法係好容易由同伴或者老師嗰度學返嚟。當啲BB仔熟習咗用加法之後,佢哋可以從記憶中嘅結果入面抽出嚟,再運用個結果做加法。例如:佢地熟悉左,之後當佢哋要做嗰時,佢哋會知到用再加上去就得出個答案。呢類型嘅技巧運用,好多小學生都已經係根深柢固,好自然就做到加法。

唔同國家都會教BB仔加法,但係教加法嘅年紀都唔同,有啲國家幼稚園就已經教加法,有啲就係小學教。但係基本上,全世界嘅小朋友讀到小學一年級已經識得做加法。

加法表[編輯]

BB仔一般都要用到加法表嚟學加法,利用加法表可以令佢哋容易啲記到嘅加法。

嘅加法

嘅加法

嘅加法

嘅加法

嘅加法

嘅加法

嘅加法

嘅加法

嘅加法

嘅加法

十進制加法[編輯]

第一步學十進制加法嘅係先學十位數加法,再到百位數(三位數)。當人習慣呢套加法嗰時,佢哋就會悟出下面呢套加法規則,令到自己更快做到加法:

  • 可溝通性:,咁如果利用加法表學加法,原本要背條加法式,而家就只需要背條。
  • 淨係加:淨係加或者對人嚟講係好自然,基本上唔使背都會識得做。
  • 零:因為係恆等元,加咗佢即係無加過嘢,對好多人嚟講都係廢。
  • 乘二:一個數自己相加,變相係乘二,如果學習埋乘法,多數人會直接跳用乘法,而唔用加法。
  • 好似乘二:如果兩個數係好近,例如:,一般會將個數乘二再減返個差,睇返個例子,就會將
  • 利用:例如:,就可以將佢寫成,咁就會計快啲。

當人愈大,處理加法嘅速度會係相應加快。

進位[編輯]

基本多位數嘅加法,會利用到直式嚟幫助。直式係會將兩個要相加嘅數,根據佢哋個位排好,由右到左,最右面係個位數,之後到十位數,再到百位數,如似類推。之後,逄十進一。個一就會帶落去下一個位。舉個例, 就可以表達出進位呢個概念。

  ¹
  27
+ 59
————
  86

如果睇呢個例子,個就係進咗位後嘅數。除咗呢個基本加法方法之外,重有好多其他方法去做加法。例如:直接由左面加起,再估計出兩個數字相加大約係幾多。

小數點加法[編輯]

小數點加法基本上同上面所介紹嘅加法係差唔多。利用直式,將兩個數字打直並排,但係今次注意係兩個數字要以小數點做中心對位。如果有需要可以加一啲廢零去幫助做加法。之後就可以跟住上面方法加法。

舉個例,將

   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

指數記數法[編輯]

內文: 指數記數法

利用指數記數法,又叫科學記數法,數字會寫到為最簡約嘅方式,將數字分開一半,一半係有效數字,另一半係以為基數嘅次方表達。如果呢個次方表達係一樣嘅話兩個數就可以就咁加或者減。

例子:就可以直接相加,變成

但係就唔可以直接相加,要將寫成,先可以相加。

其他進制加法[編輯]

除咗十進制之外,重有二進制,八進制同埋十六進制。如果用呢幾個進制,都可以進行到加法,而且步驟同上面嘅差唔多,只不過係由逢十進一變逢二進一或逢八、逢十六。

如果學電腦科學既話,轉換二進制係一定要識,以下呢個表可以幫助轉十進制去二進制:

128 64 32 16 8 4 2 0

以上呢個表都可以幫助做二進制既加法。

二進制就逢二進一。

舉個例:

數字加法[編輯]

用加法之前,一定要證明呢個加法係完美定義(Well-define)好。因為喺數學嘅世界,加法未必一定係日常加法。加法最早係應用喺自然數()。喺集合論入面,加法係將個集整大嘅一個處理,例如用自然數整整數()、有理數()同實數()。喺數學教育同埋數學史入面,正分數係早出現過負數

自然數[編輯]

內文: 自然數

加法最早係應用喺自然數入面。有兩個定義自然數加法嘅方法。第一個係利用集嘅基數(基數即係個集入面有幾多嚿嘢)嚟做定義。另一個,比較接近日常加法。

如果自然數係用嚟做一個有限集嘅基數,即係話集嘅基數係嘅基數係。佢哋兩個嘅加法可以咁定義:

「設做集嘅基數。咁兩個唔相交集,嘅聯合,就係。」

就係兩個集聯合。另一個版本嘅定義,可以接受呢兩個集係有相交,咁個定義嘅處理手法就會先將兩個集相交嘅嘢整走先,再將兩個集聯合,咁就可以避免將相交嘅嘢重覆咁計。

整數[編輯]

Grothendieck嘅整數加法表示。
內文: 整數

最簡單嘅整數概念就係絕對值或者係自然數,再加多一個正負號(正號或者負號)。整數零係一個特別嘅存在,佢又唔係正數又唔係負數。係整數入面嘅加法就按照下面嘅定義:

「對應任何整數係佢嘅絕對值。同時,係整數。如果或者係零,咁就當佢係恆等元(Identity)。如果都係正數,咁定義。如果都係負數,咁。如果係唔同正負,咁就要定義之差,之後邊一個絕對值大啲,咁佢嗰個正負號,就係答案嘅正負號。」

舉個例子,如果有,咁就係,因為,所以個答案係。如果有,咁就係,因為,所以個答案係

用呢個方法定義加法對一啲簡單嘅方法係可以,但一去到複雜少少嘅問題,呢個定義有多可能性要考慮,就會令到成件事變得更加複雜。

比較常用或者方便嘅定義方法,就係利用高分迪群(Grothendieck Group)呢個結構去定義加法。呢個常用嘅定義,係用一個好基本法則,就係每一個整數都可以寫成兩個自然數之差,呢個寫法唔係獨有,即係同時。因此,整數可以定義為兩個自然數之差,加法又可以兼容埋減法:

「有兩個整數都係自然數。定義

有理數(分數)[編輯]

內文: 有理數

有理數,即係分數。兩個分數需要分母一樣先可以相加,如果分母唔相同,咁就唔可以直接相加。

例子:分母唔一樣,所以唔可以直接相加。

例子:分母一樣,可以直接相加,得出

如果兩個分數分母唔相同,咁就需要通分母。通分母嘅意思係將兩個分數嘅分母變成一樣。因為將分子同分母同樣乘大同一個數字,佢嘅數值係冇變,一般通分母會利用最小公倍數去處理。以做例,嘅最小公倍數係,所以;

將以下情況用代數表示,可以得出有理數加法嘅定義:

舉個例子:

虛數[編輯]

將虛數當做向量咁整。
內文: 虛數

虛數嘅加法係將實嘅部分相加,虛嘅部分相加,所以可以咁樣定義:

其實虛數可以利用向量嚟做一個幾何上表達。將實部分當做橫軸(x-axis),虛部分當做縱軸(y-axis),就好似右面幅圖咁表達出任何兩個虛數相加。而喺幾何上面,右面呢個係一個平行四邊形。如果將藍、紅、紫嘅箭嘴既頭叫做,個尾叫做,咁係全等於。呢個都係其中一個虛數平面上面嘅性質。

高等數學應用[編輯]

有好多二元運算都可以當做實數加法嘅伸展,或者係類似實數嘅加法。喺抽象代數入面,代數就係呢啲所謂嘅加法嘅伸展,同時佢哋都會喺集合論同埋表示論出現。

抽象代數入面嘅加法[編輯]

向量加法[編輯]

內文: 向量

線性代數入面,一個向量空間係一種代數結構。喺呢個空間入面,兩支唔同嘅向量同埋有啲數字可以互相加埋一齊或者乘埋一齊嘅。同向量加法、乘法好似嘅重有實數坐禁加法,一個坐禁就係一支喺平面上面嘅向量,同時佢係呢個平面嘅中心。兩支向量嘅加可以咁樣定義:

矩陣加法[編輯]

內文: 矩陣

兩個矩陣要做到加法唯一嘅條件係需要有同一個基數(Order/Dimension)。兩個嘅矩陣相加之後,會用表示,都係一個矩陣:

舉個例:

同餘加法[編輯]

內文: 同餘

商數學入面,將整數之後嗰個集就最多只有嚿嘢,咁佢入面就會有一個加法,而對應喺音樂入面,五線譜嘅音符都有類似嘅加法。如果將整數,得出一個得兩嚿嘢嘅集,,咁佢入面嘅加法就同邏輯代數入面嘅Exclusive or一樣。喺幾何學入面,兩個角度相加,就係一定係實數入面入面嘅嘢。

日常加法[編輯]

喺基本嘅抽象代數入面,一個集入面嘅加法多數都係可溝通性同結合性。例子有:阿標群

將集合併[編輯]

將兩個集合埋。

加法可以將集合併,呢個都係加法入面最簡單嘅功能。

「當有兩個或以上咁多集要合併成一個,得出嗰一個集就會有之前咁多個集總和咁多樣剐。」

呢個句子好容易就可以用圖案嚟黎表示,就好似右手面張圖咁。兩個集,各自有咁多嚿嘢,合併完之後個集就有嚿嘢。但係用圖案表示有機會會出錯,所以去到高等數學,一個嚴謹定義加法嘅方法,可以推到好多好勁嘅數學結果出嚟,就好似上面嘅自然數定義。同時,有咗呢個定義,去推出分數或者負數嘅加法唔係一件容易嘅事。

原來係咁長,而家伸展多咁多,咁總共就有咁長。

伸展距離[編輯]

另一個加法嘅功能就係伸長個距離:

「當一條嘢被人加長,咁佢個總長度就係原本咁多再加伸長咗咁多。」

用代數嘅角度睇,嘅和,喺二元運算入面就係將合併埋一齊。用另一個角度睇,可以理解做加咁多嘢落嗰到。

睇埋[編輯]