幾何學

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幾何學會思考形狀、線同角度等嘅特性。

幾何學粵拼gei2 ho4 hok6英文geometry古希臘文γεωμετρία,「geometria」)係數學嘅一個子領域,專門思考有關形狀、大細、物件嘅相對位置以及空間嘅特性等嘅課題。幾何學理論以直綫平面以及維度等嘅概念為基礎,會用數學證明(mathematical proof)嘅方法,證明描述呢啲概念嘅定理,靠噉嚟增進人類對呢啲概念-以及呢啲概念相應嘅現實世界物件-嘅理解[1][2]

幾何學歷史悠久:公元前嘅古希臘等多個遠古文明都有獨立噉建立幾何學方法思考長度面積容量等嘅概念,用嚟做設計建築等嘅多種用途[1][3];形式化嘅幾何學源於古希臘-喺公元前 3 世紀,古希臘數學家歐幾里得(Euclid)喺佢本名著《幾何原本》(The Elements)當中用公理化嘅方法證明咗多條幾何學上嘅定理,為後世嘅幾何學研究奠定咗一個重要嘅根基[4]。而中世紀(5 至 15 世紀)及打後嘅數學家亦一直有將幾何學再發展上去[5]

喺廿一世紀初嘅世界,幾何學知識相當有影響力[6],喺好多科學工程學領域上都相當有用,例如:

  • 古典力學(classical mechanics;描述地球環境下嘅同移動嘅一套物理學理論框架)喺分析物件嘅移動嗰陣,就好興將分析緊嘅物件抽象化噉想像成幾何形狀,亦都成日會用到距離(可以想像成空間入面兩點之間條線嘅長度)同速度(每單位時間行幾遠距離)等建基於幾何學思考嘅概念[7]
  • 電腦圖像(computer graphics)泛指用電腦整嘅圖像;喺整三維模型(3D model)嗰時,部電腦要做運算,中途用到有關「個三維模型呢條邊有幾長」同「個三維模型呢隻角有幾大」等嘅資訊,而喺整電腦動畫嗰陣,部電腦又往往要計啲三維模型要「向邊個方向移幾遠距離」等嘅問題[8]
  • 建築學(architecture)係指研究建築物要點設計嘅一套學問。建築學會用對建築物作出幾何分析,而建築物唔同部位嘅角度同長度等變數會對棟建築物穩唔穩陣同有冇美感造成具體嘅影響[9]

... 等等。

理論基礎[編輯]

描繪畫家想像中嘅歐幾里得嘅畫
內文:幾何學理論基礎

幾何學理論基礎(foundations of geometry)係指嘗試用公理化嘅方式推導出一套有系統嘅幾何學嘅數學性研究。喺建立幾何學理論嗰陣,數學家希望做到用以下呢幾樣嘢砌出一個內部一致(consistent;即係唔能夠由個理論嗰度推導出邏輯性矛盾)嘅理論[4][10]

  • 原始諗法(primitive notion):即係一啲最基本、唔使定義嘅概念,例如直綫等嘅概念喺歐幾里得嗰套幾何理論當中係原始諗法,而唔係原始諗法嘅概念就要用原始諗法嚟定義,例如「兩條線嘅相交點」會用點以及直綫呢兩個概念嚟定義;
  • 公理(axiom):即係一啲描述原始諗法、被認為係不證自明嘅陳述式,而且唔能夠由第啲公理嗰度推理出嚟,例如「是但搵任何兩點,都有可能畫條通過呢兩點嘅直綫」就係歐幾里得嗰套幾何理論嘅其中一條公理,即係歐幾里得認為呢句嘢好明顯,唔使證明都可以當係真確[11]
  • 邏輯上嘅定律;

數學家一般都希望一套幾何學理論所用嘅原始諗法同公理數量有咁少得咁少(可以睇埋奧坎剃刀);喺有咗啲原始諗法同公理之後,數學家就會做數學證明,嘗試由公理同邏輯上嘅定律嗰度證明新嘅定理(theorem),最後呢啲公理同定理就形成一套幾何理論。喺廿一世紀,有唔少數學家仲喺度思考(例如)有冇方法可以用某啲被認公理嘅陳述式嗰度,推理出第啲被認為係公理嘅陳述式,諗住噉做可能幫到手建立一套用嘅公理數量更加少嘅幾何理論[12][13]

重要概念[編輯]

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內文:點 (幾何)
平面上面嘅一拃點

歐幾里得對點最初嘅定義係「有確切位置而唔佔用空間嘅嘢」,並且用其他公設公理去闡述點呢個概念,例如「任何兩點之間可以畫一條獨一無二嘅綫」。喺現代數學,有咗集合論之後,點通常被定義爲一個集合入面嘅一個元素,例如想講平面上面嘅一點,首先就會定義平面係,而一點就係入面嘅元素,即係話,可以寫做,當中a同b都係實數。

代數幾何入面,點嘅概念被推廣去更高嘅維度,一般意義下嘅點喺代數幾何入面叫閉點(closed point),對應極大理想,另外定義一樣嘢叫通用點(generic point),對應質理想,可以理解做代數簇入面嘅子簇,例如一條線噉,上面有一拃閉點,另外佢自己亦都係一粒通用點,呢一粒點對應嗮成條線,並唔係對應線上嘅任何一點。

直綫[編輯]

內文:直綫

綫就係「無闊度、有長度嘅嘢」,而直綫就係「上面嘅點均勻分佈嘅綫」。歐幾里得幾何入面,兩條直線可以係有一個交點或者平行,另外,畀一個點同埋一條綫,可以討論「粒點喺唔喺條綫上面」呢個關係。喺現代幾何入面,直綫通常被定義爲「喺一個線性空間入面,有某種線性關係嘅點集」。

喺歐幾里得空間以外嘅空間,佢哋未必有一個線性嘅結構,所以冇得定義入面嘅直線。但係,平面入面嘅直線有一個性質,就係任何兩點都可以用一條直線連接,而且喺所有「能夠連接兩點嘅綫」之中直線係長度最短嘅。喺黎曼幾何入面,黎曼流形上面可以定義曲線嘅長度,所以可以透過呢個性質推廣直線嘅定義,連接兩點(局部嚟講)長度最短嘅綫就叫做測地線

平面[編輯]

內文:平面

平面即係無曲率二維而且可以向任何方向無限延伸嘅一個幾何物體,歐幾里得研究嘅幾何好大部份都係平面入面發生嘅幾何(即係平面幾何),例如平面上面嘅三角形圓形平行線角度等等,另一個好自然去睇一個平面嘅角度就係擺佢入一個三維空間入面睇,咁平面就係一個餘一維嘅仿射子空間。平面有好多特別嘅性質,亦都可以被賦予唔同嘅結構,而順住呢啲性質同結構去推廣,可以得到好多好得意嘅幾何概念。例如,平面同直線類似,直線係某種意義下最短嘅線,而平面就係某種意義下面積最細嘅面,推廣呢個概念就會得到極小曲面,係一個而家都仲活躍嘅研究課題;又例如平面可以被賦予一個複結構複平面),推廣呢個概念可以得到黎曼曲面,係複幾何代數幾何嘅一個基礎物件。

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內文:角 (幾何)

喺一點源住兩個方向射兩條射線出去嘅話,兩條射線之間就會形成一隻「角」。歐幾里得已經對角呢個概念有公理化嘅研究,例如「所有直角都一樣大」、「直線相當於兩隻直角」等等。廣義嚟講亦都有其他種類嘅角,例如兩塊平面相交形成嘅二面角,或者推廣去三維嘅立體角噉。如果想將角度嘅概念推廣上去流形上面嘅話,流形上面起碼要有一個保角結構(conformal structure),雖然好多時個流形直情有個黎曼度量(Riemannian metric),亦即係話,佢係一個黎曼流形,喺呢個情況,可以將角嘅概念推廣去兩條曲線之間嘅角,定義佢做兩條曲線喺相交點嘅切向量形成嘅角。

角度亦都同複數好有關係,因為好多複數嘅操作都係保角嘅,例如加數、乘數、反演等等。事實上,係一個黎曼平面(一維複流形)上面,保角結構同複結構係一一對應嘅,不過喺更高嘅維度上面就無呢個對應。

曲綫[編輯]

內文:曲綫

曲綫(curve)即係一維嘅物體,曲嘅意思應該理解做「可能係唔直嘅」噉嘅意思,而係數學入面,直綫都計係曲綫嘅一種;喺平面入面嘅曲綫叫做平面曲綫(plane curve),立體空間入面曲綫就叫做空間曲綫(space curve)。

拓樸學入面,曲綫嘅定義係由一個實線上面嘅開區間打去一個空間嘅連續函數;而喺微分幾何入面,定義都類似,不過個函數就要求係連續可微或者係光滑嘅。代數幾何入面就會研究代數曲線(algebraic curve),定義係一維嘅代數簇

曲面[編輯]

內文:曲面

曲面係指二維嘅物體,喺拓樸學同微分幾何入面,曲面係由一咋二維嘅「patch」透過同胚或者係微分同胚黐埋一齊;而喺代數幾何嘅世界入面,幾何物體係用多項式嚟定義嘅,所以用好粗略嘅講法嚟講,喺n維空間上面用n-2條多項式嚟定義嘅話,就會得到一個曲面啦[NB 1]

流形[編輯]

內文:流形

長度、面積同體積[編輯]

內文:長度面積、 同 體積

子領域[編輯]

拓撲學[編輯]

內文:拓撲學

應用[編輯]

簡史[編輯]

內文:幾何學史

註釋[編輯]

  1. 呢個講法其實仲差得好遠,好多k維嘅物喺n維空間入面都要用多過n-k條多項式嚟定義,詳情可以睇完全相交(complete intersection)

睇埋[編輯]

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  1. 1.0 1.1 Vincenzo De Risi (31 January 2015). Mathematizing Space: The Objects of Geometry from Antiquity to the Early Modern Age. Birkhäuser. pp. 1–.
  2. Tabak, John (2014). Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing. p. xiv.
  3. Staal, Frits (1999), "Greek and Vedic Geometry", Journal of Indian Philosophy, 27 (1–2): 105–127.
  4. 4.0 4.1 Martin J. Turner; Jonathan M. Blackledge; Patrick R. Andrews (1998). Fractal geometry in digital imaging. Academic Press. p. 1.
  5. Boyer, C.B. (1991) [1989]. A History of Mathematics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach ed.). New York: Wiley. p. 43.
  6. Lamb, Evelyn (8 November 2015). "By Solving the Mysteries of Shape-Shifting Spaces, Mathematician Wins $3-Million Prize". Scientific American.
  7. Hestenes, D. (2012). New foundations for classical mechanics (Vol. 15). Springer Science & Business Media.
  8. Marsh, D. (2006). Applied geometry for computer graphics and CAD. Springer.
  9. Guillén, M. F. (1997). Scientific management's lost aesthetic: Architecture, organization, and the Taylorized beauty of the mechanical. Administrative Science Quarterly, 682-715.
  10. Wylie Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw–Hill.
  11. Victor J. Katz (21 September 2000). Using History to Teach Mathematics: An International Perspective. Cambridge University Press. pp. 45-.
  12. Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, Inc. pp. 105-8.
  13. Robin Hartshorne (11 November 2013). Geometry: Euclid and Beyond. Springer Science & Business Media. pp. 29-.