正交 (Orthogonal) 係直觀概念入面垂直 嘅推廣。作為一個形容詞，只有喺一個確定嘅內積空間 當中先至有意義。若果內積空間 入面兩向量 嘅內積 係 0 ，咁就係叫做正交 。如果能夠定義向量間嘅夾角，咁正交就可以直接理解成垂直 。
若內積空間 中兩個向量 嘅內積 都係 0，咁佢地兩者就係正交 。類似地，若內積空間 入面嘅向量 v 同子空間 A 入面嘅每個向量都正交嘅話，咁呢個向量就係同子空間A 正交。若果內積空間 嘅子空間 A 同 B 滿足其中一個嘅每個向量都同另一者正交，咁佢地就都係正交子空間。
正交變換
T
:
V
→
V
{\displaystyle T:V\rightarrow V}
內積 嘅線性變換。即是話，對兩個向量，佢地嘅內積等於佢地喺函數 T 下嘅像嘅內積：
⟨
T
x
,
T
y
⟩
=
⟨
x
,
y
⟩
.
{\displaystyle \langle Tx,Ty\rangle =\langle x,y\rangle .}
即係話正交變換保持向量嘅長度唔變，亦都保持兩個向量之間嘅角度不變。
喺 2D 或者 3D 嘅歐幾裡德空間 入面，兩個向量正交 if and only if 佢地嘅點積 係零，即係佢地成 90°角。可以睇得出正交嘅概念正係喺呢個基礎上推廣而嚟嘅。喺 3D 空間入面，一條直線嘅正交子空間係一個平面，相反亦都係一樣。4D 空間入面，一條直線嘅正交子空間就係一個超平面（Hyperplane）。
對於兩個函數 f 同g ，可以定義如下的內積:
⟨
f
,
g
⟩
w
=
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
w
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.}
呢度引進一個非負嘅權函數
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
兩個函數帶權
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
，係指佢地帶權
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
w
(
x
)
d
x
=
0.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx=0.}
由此可以類似定義帶權
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
|
|
f
|
|
w
=
⟨
f
,
f
⟩
w
{\displaystyle ||f||_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}}
一個函數列{ f i i = 1, 2, 3, ... }如果滿足：
⟨
f
i
,
f
j
⟩
=
∫
−
∞
∞
f
i
(
x
)
f
j
(
x
)
w
(
x
)
d
x
=
|
|
f
i
|
|
2
δ
i
,
j
=
|
|
f
j
|
|
2
δ
i
,
j
{\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,dx=||f_{i}||^{2}\delta _{i,j}=||f_{j}||^{2}\delta _{i,j}}
就叫做帶權
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
。
如果滿足：
⟨
f
i
,
f
j
⟩
=
∫
−
∞
∞
f
i
(
x
)
f
j
(
x
)
w
(
x
)
d
x
=
δ
i
,
j
{\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,dx=\delta _{i,j}}
其中
δ
i
,
j
=
{
1
i
f
i
=
j
0
i
f
i
≠
j
}
{\displaystyle \delta _{i,j}=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\neq j\end{matrix}}\right\}}
為克羅內克函數 。 就叫做帶權
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
參見正交多項式
