正交基

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線性代數當中,一個內積空間正交基係元素兩兩正交。基中元素嘅模長都係單位長度 1 嘅正交基叫做標准正交基

無論係喺有限維定係無限維空間入面,正交基嘅概念都係好重要嘅。喺無限維希爾伯特空間當中,正交基唔再係Hamel基,亦即係話唔係每個元素都可以寫得成有限個基中元素嘅線性組合。所以喺無限維空間入面,正交基應該更加嚴格咁定義為由線性無關而且兩兩正交嘅元素組成、張成嘅空間係原空間嘅一個稠密子空間(而唔係整個空間)嘅集合。

注意,喺冇定義內積嘅空間入面,「正交基」呢三個字係冇意義嘅。所以只有當一個巴拿赫空間係一個希爾伯特空間,佢先至會有正交基。

例子[編輯]

  • 喺歐幾里得空間 入面,集合: 組成咗一個標准嘅正交基。
  • 定義嘅集合:
組成一個標准正交基喺複勒壁空間Lp space) 上。

基本性質[編輯]

BH上嘅一個正交基,係噉H中嘅每個元素x都可以表示得成:

B係標准正交基嗰陣時,就係:

x模長表示為:

.

即使B唔係可數嘅,上面累加式裡便嘅非零項亦都只會有可數多個,所以呢個表達式照舊係有效嘅。上式叫做x傅利耶展開,詳見傅利耶級數

BH上嘅一個標准正交基,係噉H同構序列空間l2(B)。因為存在以下H -> l2(B)嘅雙射Φ,令到對於所有 H中嘅 xy 有:

正交基嘅存在性[編輯]

運用佐恩引理Gram-Schmidt正交化方法,可以證明得每個希爾伯特空間都有基,並且有正交基。同一個空間嘅正交基嘅基數必然係相同嘅。當一個希爾伯特空間有可數個元素組成嘅正交基,就說呢個空間係可分嘅。

Hamel基[編輯]

有前面嘅定義可以知道,喺無窮維空間嘅情況下,正交基唔繼續係一般線性代數嘅定義下嘅基。為咗區分,叫一般線性代數嘅定義下嘅基係Hamel基。

喺內積空間嘅實際應用中,Hamel基甚少出現,因此提到「基」嘅概念陣時,一般指嘅係正交基。

參看[編輯]