正交基

喺線性代數當中，一個內積空間嘅正交基係元素兩兩正交嘅基。基中元素嘅模長都係單位長度 1 嘅正交基叫做標准正交基。

無論係喺有限維定係無限維空間入面，正交基嘅概念都係好重要嘅。喺無限維希爾伯特空間當中，正交基唔再係Hamel基，亦即係話唔係每個元素都可以寫成有限個基中元素嘅線性組合。所以喺無限維空間入面，正交基應該更加嚴格咁定義為由線性無關而且兩兩正交嘅元素組成、張成嘅空間係原空間嘅一個稠密子空間（而唔係整個空間）嘅集合。

注意，喺冇定義內積嘅空間入面，“正交基”呢三個字係冇意義嘅。所以只有當一個巴拿赫空間係一個希爾伯特空間，佢先至會有正交基。

例子

• 喺歐幾裡德空間 $\mathbb {R} ^{3}$$\mathbb {R} ^{3}$ 入面，集合：{e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1)} 組成咗一個標准嘅正交基。

• 由 f_n(x) = exp(2πinx) 定義嘅集合：

{f_n : n ∈ Z} 組成在復勒貝格空間L²([0,1])上的一個標准正交基。

基本性質

B是H上的一個正交基，那麼H中的每個元素x都可以表示成：

$x=\sum _{b\in B}{\langle x,b\rangle \over \lVert b\rVert ^{2}}b$$x=\sum _{b\in B}{\langle x,b\rangle \over \lVert b\rVert ^{2}}b$

當B是標准正交基時，就是：

$x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b$$x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b$

x 的模長表示為：

$\|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}$$\|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}$.

即使B不是可數的，上面和式裡的非零項也只會有可數多個，所以這個表達式仍然是有效的。上式被稱作x的傅立葉展開，詳見傅裡葉級數。

若B是H上的一個標准正交基，那麼H“同構”於序列空間l²(B)。因為存在以下H -> l²(B)的雙射Φ，使得對於所有 H中的 x 和 y 有：

$\langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle$$\langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle$

正交基的存在性

運用佐恩引理和Gram-Schmidt正交化方法，可以證明每個希爾伯特空間都有基，並且有正交基。同一個空間的正交基的基數必然是相同的。當一個希爾伯特空間有可數個元素組成的正交基，就說這個空間是可分的。

Hamel基

有前面的定義可以知道，在無窮維空間的情況下，正交基不再是一般線性代數的定義下的基。為了區分，把一般線性代數的定義下的基稱為Hamel基。

在內積空間的實際應用中，Hamel基甚少出現，因此提到“基”的概念時，一般指的是正交基。

參看

• 基 (線性代數)
• 正交
• 正交化
• Gram-Schmidt正交化
• 正交分解
• 正交矩陣
• 垂直