正交基
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喺線性代數當中,一個內積空間嘅正交基係元素兩兩正交嘅基。基中元素嘅模長都係單位長度 1 嘅正交基叫做標准正交基。
無論係喺有限維定係無限維空間入面,正交基嘅概念都係好重要嘅。喺無限維希爾伯特空間當中,正交基唔再係Hamel基,亦即係話唔係每個元素都可以寫成有限個基中元素嘅線性組合。所以喺無限維空間入面,正交基應該更加嚴格咁定義為由線性無關而且兩兩正交嘅元素組成、張成嘅空間係原空間嘅一個稠密子空間(而唔係整個空間)嘅集合。
注意,喺冇定義內積嘅空間入面,“正交基”呢三個字係冇意義嘅。所以只有當一個巴拿赫空間係一個希爾伯特空間,佢先至會有正交基。
例子[編輯]
- 喺歐幾裡德空間 入面,集合: 組成咗一個標准嘅正交基。
- 由 定義嘅集合:
- 組成在復勒貝格空間 上的一個標准正交基。
基本性質[編輯]
B是H上的一個正交基,那麼H中的每個元素x都可以表示成:
當B是標准正交基時,就是:
x 的模長表示為:
- .
即使B不是可數的,上面和式裡的非零項也只會有可數多個,所以這個表達式仍然是有效的。上式被稱作x的傅立葉展開,詳見傅裡葉級數。
若B是H上的一個標准正交基,那麼H“同構”於序列空間l2(B)。因為存在以下H -> l2(B)的雙射Φ,使得對於所有 H中的 x 和 y 有:
正交基的存在性[編輯]
運用佐恩引理和Gram-Schmidt正交化方法,可以證明每個希爾伯特空間都有基,並且有正交基。同一個空間的正交基的基數必然是相同的。當一個希爾伯特空間有可數個元素組成的正交基,就說這個空間是可分的。
Hamel基[編輯]
有前面的定義可以知道,在無窮維空間的情況下,正交基不再是一般線性代數的定義下的基。為了區分,把一般線性代數的定義下的基稱為Hamel基。
在內積空間的實際應用中,Hamel基甚少出現,因此提到“基”的概念時,一般指的是正交基。