複雜系統

好似香港噉嘅大型城市俾人指係複雜系統，行為難以預測。

複雜系統（粵拼：fuk1 zaap6 hai6 tung2；英文：complex system）顧名思義係指複雜度高嘅系統。一個複雜系統會有好多件組成部份，呢啲組成部份之間有可能會互相影響，而且啲變數彼此之間嘅關係好多時唔成線性，因而搞到分析者難以預測個系統嘅行為。

舉例說明，一座城市可以算係一個複雜系統：一座城市由好多件部份組成，包括係市民、馬路等嘅基建以及建築物等好多樣嘢；呢啲組成部份之間會互相影響，例如想像座城市嘅市中心有條大馬路（組成部份 A）因為撞車而俾人封咗，搞到好多市民返工返學有困難（影響組成部份 B），跟住就會影響某啲企業嘅運作（影響組成部份 C），如果咁啱得咁橋，其中一位返唔到工嘅市民係某間大企業嘅重要管理層（啲變數之間嘅關係唔成線性），就可能連帶搞到間企業當日嘅工作受阻，進而影響埋股市嘅波動（結果難預測）。除咗城市之外，地球、生態系統、生物個體、人腦、經濟體同埋進階嘅電腦軟件... 等嘅好多事物，都俾人話係屬於複雜系統。

因為咁多唔同嘅事物都係複雜系統，有好多唔同領域嘅工作者都發覺自己做嘢嗰陣要應付「個系統複雜得滯，預測唔到佢行為」等嘅問題－包括咗地球科學、生物學、心理學、經濟學同工程學... 呀噉。於是有啲工作者就開始著手分析複雜系統嘅抽象特性，形成咗一套跨學科嘅研究，會用到電腦模擬等嘅方法解答有關複雜系統嘅問題。

定義

一幅好抽象化嘅系統圖解

系統

複雜系統嘅概念源自廿世紀後半橛，指某一類嘅系統：响最廣義上嚟講，「系統」呢隻詞定義上係指

• 一拃組成部份、同埋
• 拃組成部份之間嘅關係；而且
• 個系統同周圍環境之間有界限（boundary），條界限決定每嚿嘢係咪個系統嘅一部份；
• 唔屬個系統一部份嘅嘢就係個系統周圍嘅環境（environment / surrounding）；

工程學上對系統嘅分析仲會用到比較數學化嘅表示方法（詳情可以睇吓遞移函數同相空間等嘅概念），最基本上係「將描述系統某件組成部份嘅狀態嘅變數，表示成 input 或者第啲部份嘅狀態嘅函數」，即係類似噉：

$s=H(s_{0})$，當中

• $s$ 係個系統其中一部份嘅狀態，又或者系統嘅整體狀態；
• $s_{0}$ 係系統接收到嘅 input 或者系統第個部份嘅狀態；
• $H$ 係個函數；

複雜

複雜系統定義就係指「複雜度高嘅系統」：想像一個簡單嘅系統，

• 得 3 個 $s$，$(s_{1},s_{2},s_{3})$；
• 當中 $s_{1}$ 嘅狀態取決於系統 input，即係$s_{1}=H_{1}({\text{input}})$；而
• 啲 $s$ 之間總共有 3 個 $H$；

呢個系統好簡單，分析者可以輕易噉做到「攞家吓個 input 值，計出個系統跟住會變成咩狀態（計出啲 $s$ 值）」；但隨住個系統嘅部份數量上升，$s$ 嘅數量跟住上升，而就算每件部份得一個 $s$ 變數，增加 $s$ 嘅數量都梗會令關係嘅數量（$H$）上升，如果啲 $H$ 仲要唔係線性，往往就會搞到分析者難以預測個系統嘅行為。想像家陣想分析嘅系統係香港呢座城市：喺 2020 年代，香港人口超過 7,000,000，所以淨係考慮啲人、而且假設每個人都簡單到可以用一個數值表示嗮佢嘅狀態（一個明顯簡化得滯嘅假設），個系統已經有成超過 7,000,000 個 $s$ 咁多－而且仲未計人以外嗰啲組成部份（汽車、基建、建築物... 等好多嘢）嘅 $s$；$H$ 嘅數量就實會更加多，再加上有最少一部份嘅 $H$ 唔係線性，噉分析者攞住個 input 值，要「計出座城市嘅各狀態會點變（計拃 $s$ 嘅值）」會係一樣撈絞得好交關嘅工作。

除咗城市之外，複雜系統嘅例子仲有：

• 生物：一隻生物可以由極大量嘅細胞組成，例如一個大人成身估計有超過 10¹³ 粒細胞，而且一粒細胞本身又有返咁上下複雜；
• 腦部：一個腦由大量嘅神經細胞同第啲嘢組成，好似人腦齋係塊大腦皮層就經已有成 150 至 330 億粒互相緊密連繫嘅神經細胞咁滯；
• 生態系統：一個生態系統由極大量嘅生物個體組成，而且一隻個體生物本身已經係一個複雜系統；
• 經濟體：一個經濟體由好多人以及人造嘅物體（企業同貨呀噉）組成，而且人淨係個腦經已係複雜系統；
• 地球：地球上有好多生物、生態系統、經濟體同埋第啲嘢；
• 電腦軟件：原則上，電腦軟件可以好簡單，例如初學寫程式嘅人會寫啲得嗰幾行源碼嘅 Hello World 程式；但到咗廿一世紀初，電腦軟件愈嚟愈複雜，專業軟件工程上整嘅軟件好多時都有多件部份，而且每部份用源碼表達嘅話都有成幾萬行碼咁長，當中有啲軟件甚至仲有成上億行碼。事實係，唔少軟件工程方面嘅工作者都話，發覺自己成日都預測唔到自己寫嗰啲程式嘅行為。

响廿世紀尾，有多個唔同領域嘅工作者－包括係地球科學、生物學、生態學、神經科學、心理學同經濟學等嘅社會科學、同埋工程學等－都發覺自己成日要面對「手上分析緊嗰個系統複雜得滯，預測唔到佢嘅行為」噉嘅情況。於是就有人提出咗「複雜系統」嘅概念，並且著手研究複雜系統嘅抽象特性，目的係想解答「有冇方法可以更準確噉預測複雜系統嘅行為？」等嘅問題。

一隻大鼠嘅腦嘅其中一細橛仔；淨係呢一細橛仔已經有好多粒神經細胞喺入面。  呢間商場迫滿嗮嚟買嘢嘅人，每個人都各自係個複雜系統，而且曉作出消費上嘅決策。  一個學寫程式嘅人寫個 3 行碼長嘅程式；喺軟件工程上，寫嚟攞去賣嘅程式閒閒哋幾廿萬行碼咁長，而且啲碼唔會話係「由頭行落尾一次」咁簡單。

重要特徵

幾條簡單嘅線性關係；複雜系統入面啲變數好少可會成咁簡單嘅關係。

複雜系統有以下呢啲重要特徵：

非線性

複雜系統往往會非線性（nonlinear）：响最簡單嘅系統入面，啲變數之間會成線性關係，意思即係話變數之間嘅關係如果畫做圖，可以用直線表示；而用數學方程式表達嘅話，就會出好似以下噉嘅式

$y=mx+b$；$[1]$

當中 $y$ 同 $x$ 係研究緊嘅變數，而 $m$ 同 $b$ 係描述系統特性嘅數值；不過現實世界嘅系統好少可會係線性噉簡單，

• 例如攞返城市做例子，一座城市嘅經濟活動係要有人開工先至做得成嘅，但經濟活動（$y$）同返到工嘅市民嘅數量（$x$）未必成正比－人之間有個體差異，可能有啲人對經濟活動影響大啲，有啲人對經濟活動影響細啲，所以將呢兩個變數畫做圖好可能會出唔到直線；
• 又或者用人體做例子，人體需要好多化學物質，冇咗呢啲化學物質會死，但好多時如果一樣化學物質多得滯，就會搞到個人健康出現問題甚至死亡，例如鹽就係噉，所以如果將健康（$y$）同吸收咗嘅鹽嘅量（$x$）畫做圖，幅圖都唔會係直線。

齋係非線性呢點，就已經搞到複雜系統嘅行為難預測好多。假想一個簡單系統，得兩個變數 $y$ 同 $x$，$y$ 同 $x$ 成好似 $[1]$ 條式噉嘅線性關係，噉分析者就可以知，$x$ 嘅值每上升一個單位，$y$ 嘅值就會跟住上升 $mx$ 咁多；相比之下，如果兩個變數之間嘅關係唔成線性，噉 $x$ 嘅值每上升一個單位可以引致最少四個可能結果－

• $y$ 嘅值跟住上升 $mx$ 咁多；
• $y$ 嘅值跟住上升嘅幅度大過 $mx$；
• $y$ 嘅值跟住上升嘅幅度細過 $mx$；
• $y$ 嘅值不變；

非線性可以一定程度上用統計學方法應付：喺社會科學當中，研究者好興整線性迴歸模型（linear regression model）；即係話研究者心知研究緊嗰啲變數之間嘅關係唔成線性，但「當住佢哋成線性先」嚟做，跟住用數據估計 $m$ 同 $b$ 呢啲參數嘅值，靠得出嘅 $m$ 同 $b$ 值建立一個統計模型，然後再用個模型嚟做預測－即係例如做分析發覺 $m=2$ 同 $b=5$，就當係「$x$ 每上升 1，噉 $y$ 嘅值就會跟住上升大約 $m\times x=2$ 咁多」，當中分析者預咗實際嘅值唔會真係咁簡單，但事實表明假如佢啲數據有咁上下代表到研究緊嗰種現象，佢個模型會做到大致準確嘅預測－例如實際數據裏面，實際嘅 $y$ 值上升幅度會係

$2.1,1.87,2.89,1.98...$ 等等

－大部份時間都唔會偏離預測值太遠。

一個線性迴歸模型嘅圖解；藍色點代表數據當中嘅個體，每個個體都喺 $x$ 同 $y$ 上有個值，條紅色線係個迴歸模型，攞住條線嚟用 $x$ 預測 $y$ 嘅值會俾到大致上啱，但唔完全準嘅預測。

網絡

一個抽象網絡嘅圖解；啲掕住羅馬字母嘅點係頂點，頂點之間有一條條線連住，線表示頂點之間嘅啦掕；啲頂點可能表示緊神經細胞、經濟個體或者一部部電腦呀噉。

複雜系統可以用網絡（network）嘅方式想像：抽象化噉講，網絡係圖論上嘅一種圖；一片網絡有若干粒頂點，每粒頂點都表示個系統嘅一個組成部份，啲頂點之間有線連住，而啲線表示節點之間嘅關係。舉具體啲嘅例子嘅話：

• 神經科學：神經系統（包括腦）由大量嘅神經細胞（節點）組成，是但攞兩粒神經細胞嚟睇，嗰兩粒細胞之間都可能有連繫（詳情可以睇吓突觸等嘅概念）可能冇（節點之間嘅線），有連繫嘅神經細胞可以互傳動作電位訊號（線表示兩粒節點可以互動），而且有陣時有啲連繫淨係有得單向傳訊號（關係又有分好多唔同種）；可以睇埋神經網絡嘅概念。
• 經濟學：一個經濟體都可以想像成一片網絡；一個經濟體由大量嘅經濟個體（節點）組成，好似係消費者同企業呀噉；是但攞兩個經濟個體嚟睇，嗰兩個個體之間都可能有某啲關係（節點之間嘅線）－例如消費者 A 同消費者 B 係朋友關係，所以零舍會影響彼此嘅經濟決策，又或者企業 X 同企業 Y 之間係同盟嘅關係，所以 X 會將重要情報提供俾 Y 但唔會俾第啲企業（關係又有分好多唔同種）；可以睇埋社會網絡嘅概念。
• 資訊科技：電腦之間嘅通訊都可以想像成一片網絡；一片電腦網絡由若干部電腦（節點）組成；當中電腦之間可以有連繫（節點之間嘅線），而且連繫又分好多種－例如係維基百科嘅伺服器噉，一篇普通嘅維基文可以由任何電腦讀取（一部普通嘅電腦同維基伺服器成咗連繫），但有某啲內容可能淨係某啲電腦先至准讀取嘅（關係又有分好多唔同種）... 如此類推。

複雜系統用網絡嘅方法想像嘅話，片網絡會有數量龐大嘅節點，而且節點之間嘅關係嘅數量會更加大－假如一個系統唔對「邊啲節點之間准有關係」作出咩限制，噉設 $N$ 做節點嘅數量，可能嘅關係數量 $K_{tot}$ 可以用以下噉嘅式計：

$K_{tot}={\frac {N(N-1)}{2}}$；$[2]$

－如果 $N=2$，$K_{tot}=1$，如果 $N=5$，$K_{tot}=10$，如果 $N=10$，$K_{tot}=45$... 隨住 $N$ 嘅值上升，$K_{tot}$ 嘅值會升得好勁（睇埋組合性爆發嘅概念）。响現實世界嘅複雜系統裏面，$N$ 嘅值閒閒哋會係幾千至幾萬，$K_{tot}$ 嘅值話咁快就會變成天文數字，而且上述嘅分析仲未考慮「節點之間嘅關係有分好多唔同種」以及「每粒節點本身可以係個複雜系統（人類個體或者電腦都可以好複雜）」等嘅問題－因為噉，分析者望到自己想分析嗰個網絡嗰陣，冇可能一眼睇得出個網絡而家嘅狀態係點，更加唔好話預測到個網絡跟住落嚟有乜變化。

一個社會網絡圖像化得出嘅樣；每粒節點係個人，啲人之間可以有連繫－由幅圖睇得出，個網絡好龐大有好多人，而且「人之間嘅連繫」數量仲多，其中有幾忽密到就噉望落好似一大劈顏色噉。

創發

群動：一大群雀鳥一齊飛嗰陣，成個雀群成一個幾何咁滯嘅形狀，但每隻雀都只係按「身邊同伴嘅位置」決定要點飛。

創發（emergence）係複雜系統成日有嘅一樣特徵，指一樣事物具有佢啲組成部份冇嘅特性，而且呢啲特性源自組成部份之間嘅互動；創發嘅現象表示，齋靠理解樣事物嘅組成部份，唔能夠做到完全預測樣事物嘅行為。舉幾個具體例子：

• 化學：化學物質都係由元素組成嘅；例如水嘅化學成份係 H₂O，即係一氧化二氫，每粒水分子由兩粒氫原子（H）同一粒氧原子（O）組成，水喺正常溫度同壓力下處於液體狀態（事物嘅特性），而呢種特性係氫同氧都冇嘅（氫同氧喺正常溫度壓力下會呈氣體狀態；組成部份嘅特性）－水具有最少一樣「氫同氧唔具有嘅特性」，而且呢樣特性源於氫原子同氧原子之間嘅互動；噉就表示，齋靠思考氫同氧嘅特性唔能夠達致預測到水嘅特性。
• 生物學：動物學上有觀察到群動（flocking）嘅現象，指當一大拃嘅動物個體一齊郁嗰時，每隻都會按周圍啲同伴嘅位置決定「跟住落嚟要點郁」，同時佢身邊嘅同伴又會用同樣嘅方法決定要點郁，最後成班動物一齊郁（個體之間嘅互動），形成個整體上嘅姿態（整體特性）－例子可以睇吓昆蟲、魚類同雀鳥成群一齊游或者飛嗰陣，成個群會形成有規律嘅形狀。
• 社會學：個體人（組成部份）之間嘅互動會形成各種社會現象（整體特性），例如响一座城市入面，每個人都會各自噉對「想搬去邊度住」做決策，每個人嘅決策取決於佢嘅入息同喜好等多個因素；跟住隨住時間過去，佢哋之間會互動－例如有兩個人爭買某間屋，或者兩個人爭同一份工，爭贏嗰個就入息提升可以去買或者租自己想要嘅住宅；如是者，最後成座城市形成咗個樓市局勢，呢個局勢都係個體人冇嘅特性，而且源自啲人之間嘅互動。
• 可以睇埋生命棋（Game of Life）呢種出名嘅運算模型。

創發嘅現象令「預測複雜系統嘅行為」呢家嘢變得更加撈絞：例如化學同生物學之間嘅邊界噉，化學係研究物質嘅科學，生物學係研究生命嘅科學；已知有生命嘅嘢冚唪唥都係由物質組成，但基於創發呢點，一件有生命嘅嘢可以具有組成佢嗰啲粒子冇嘅特性；事實係，已知生物同生物群體有「曉進化」等嘅特性，而呢啲特性係粒子冇嘅，所以就算一個人有完美化學知識，知嗮所有物質嘅所有特性，佢都唔會能夠齋靠佢嘅化學知識預測到嗮生物嘅特性，於是生物學呢門領域就有必要存在－而噉亦表示，創發嘅存在令到預測複雜系統嘅變化嗰陣需要更大量嘅知識。

响 1972 年，有物理學家就撰文噉講：

「

英文原文："At each level of complexity entirely new properties appear. Psychology is not applied biology, nor is biology applied chemistry. We can now see that the whole becomes not merely more, but very different from the sum of its parts." 粵文翻譯：喺每層複雜度，全新嘅特性都會出現。心理學唔係應用生物學（解：人由細胞組成，但人嘅行為唔可以齋靠對細胞嘅理解預測），生物學亦唔係應用化學（解：生物由粒子組成，但生物嘅行為唔可以齋靠對粒子嘅理解預測）。而家我哋可以見到整體唔淨只變得（啲嘢）多咗，仲變到有異於佢啲組成部份加埋。

」

2004 年曼谷一角；啲馬路排嗮車龍，當中每位司機都只係各自行動，冇話（例如）靠集體心靈成班司機一齊決定點郁，但佢哋各自嘅決策最後形成「條車龍成一條直線」噉嘅狀態。

適應

複雜系統好多時仲會具有適應（adaptation）嘅能力。複雜系統往往有能力透過經驗改變自己（學習）：一個複雜系統有一大拃組成部份，當中是但一對組成部份之間嘅關係出現變化，都可以令個系統嘅整體行為唔同咗；而且好多時啲組成部份又有返咁上下複雜，每件都曉或多或少噉改變自己或者做決策（細胞同人都係噉）嚟適應環境；如此者，個系統整體就有能力隨時間（當中時間係個連續變數）改變自己嘅行為。舉幾個例說明：

• 動物學同神經科學：一隻動物全身包括個腦（一個複雜系統）由好多粒細胞（組成部份）組成，每粒細胞都有能力或多或少噉改變自己，從而令隻動物嘅行為出現變化；例如擺隻動物喺間實驗室入面，實驗室地板上有個紅色掣，佢每次撳個紅色掣，都會有嘢食（睇埋斯金納箱嘅概念），經驗表明，隻動物個腦入面啲神經細胞之間嘅連繫會變，感受肚餓嘅腦細胞同「控制隻動物啲肌肉去撳掣」嘅細胞建立咗連繫（組成部份之間嘅關係唔同咗），令隻動物話咁快學識由唔撳掣變成每次肚餓都去撳個紅色掣（個系統嘅行為唔同咗）。可以睇埋生物神經網絡同埋海伯理論。
• 管理學同其他商學：管理學上有所謂嘅組織學習現象；組織係泛指一大班人一齊為咗某個目標做嘢，例如一間企業（一個複雜系統）啲員工（組成部份）一齊合作做嘢，想間企業起碼唔好執笠，保住自己嘅生計；想像家陣間企業係從事建築工程相關事務嘅，有日佢哋幾個管理層去出席建築工程方面嘅研討會，佢哋學識一隻新嘅建築技術（其中一啲組成部份變咗），隻技術能夠令起屋要花嘅時間下降 30% 同時間屋嘅質素唔跌，於是佢哋返去開會決定對隻技術做研發（組成部份做決策），最後令間企業嘅行為出現變化－間企業用嘅技術唔同咗，而且仲為咗研發呢隻新技術而（例如）同某大學嘅工程學院建立合作關係（個系統嘅行為唔同咗）。睇埋創新嘅相關現象。

... 呀噉。適應呢樣特性亦都進一步增加「預測複雜系統嘅變化」嘅難度－適應特性表示，一個複雜系統唔淨只係啲變數（想像 $[1]$ 入面嘅 $y$ 同 $x$）可以隨時間變化，連啲參數（想像 $[1]$ 入面嘅 $m$ 同 $b$）都可以隨時間變化。

一間辦公室入面啲員工喺度做嘢；佢哋每個人都有能力學習，而且（例如）如果有位員工學咗新諗頭，佢可能會將個諗頭教俾同事，最後令成班人嘅做嘢方法都變嗮。

電腦模擬

用 OpenGL 整嘅群動模擬

响廿一世紀初，電腦模擬（computer simulation）係應對複雜系統嘅一種常用技術。如果抽象化噉想像成數學模型（用數學方程式表示啲變數之間嘅關係）嘅話，複雜系統特徵係變數多，而且表示佢哋啲關係嘅式唔成簡單嘅線性（睇返上面）。而家想像一個得 3 個變數 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 嘅簡單系統，研究者淨係需要計

time 1: x1, x2, x3

time 2: x1, x2, x3

time 3: x1, x2, x3

... 如此類推，當中 time n 係指「第 n 點時間」，就做到可以大致想像個系統「跟住會點變化」；但想像如果變數嘅數量係（例如）10,000，條數就撈絞到冇可能齋靠人手計。噉講即係，人之所以難以預測複雜系統嘅行為，其中一個主因係佢哋冇能力計嗮個系統咁多變數嘅值會點隨時間變化。噉原則上，如果有某啲技術能夠做到以極快速度計大量嘅數，就有可能達致預測到複雜系統嘅行為－電腦正正就係能夠高速計好多數嘅機械。

例子：洛卡-伏塔拉模型

例如洛卡-伏塔拉模型（Lotka-Volterra model）係一個出名嘅生物學電腦模擬模型，初頭呢個模型係俾人攞嚟模擬獵食者同獵物响生態系統當中嘅互動，打後呢個模型仲有俾人攞嚟模擬第啲生命現象。呢個模型涉及咗以下呢兩條非線性微分方程：

${\frac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy$

${\frac {dy}{dt}}=\delta xy-\gamma y$

當中

• $x$ 係獵物（prey；例：兔仔）嘅個體數量；
• $y$ 係獵食者（predator；例：狼）嘅個體數量；
• $t$ 表示時間；
• ${\frac {dx}{dt}}$ 表示獵物個體數量隨時間嘅導數，即係獵物個體數量嘅瞬間變率（詳情可以睇微積分）；

  －呢個數值取決於 $x$（獵物嘅數量會影響跟住落嚟有幾多隻新嘅獵物出世）同 $xy$（獵物同獵食者嘅數量會共同影響跟住落嚟有幾多隻獵物死亡）。

• ${\frac {dy}{dt}}$ 表示獵食者個體數量隨時間嘅導數；

  －呢個數值取決於 $y$（獵食者嘅數量會影響跟住落嚟有幾多隻新嘅獵食者出世）同 $xy$（獵物同獵食者嘅數量會共同影響跟住落嚟有幾多隻獵食者因為捉唔到獵物而餓死）。

• $\alpha$、$\beta$、$\delta$、$\gamma$ 係一柞實數參數，反映獵物同獵食者「平均每隻生產幾多隻後代」等嘅因素；

如果將上述個模型寫成電腦程式噉行，教電腦計 $x$ 同 $y$ 喺每個時間點嘅值，再教佢將啲值畫做圖（打橫嗰條軸係時間），會出好似以下呢兩條噉嘅線：

跟住研究者仲可以試吓調整啲參數，睇吓（例如）獵食者出生率突然大跌會對個生態系統嘅情況造成乜嘢影響。

混沌理論

混沌（chaos）係分析複雜系統嗰陣成日撞到嘅一種問題：系統梗會有某啲 input，而系統跟住落嚟嘅狀態會取決於 input 同系統打前嘅狀態；想像兩個經濟體 A 同 B，喺開始嗰陣（$t=0$）兩個經濟體狀態完全一樣咁滯，不過响一開始嗰時 A 嘅人口大過 B 少少（例如 A 人口係 100,002 而 B 人口係 100,000）；直覺上會覺得，A 同 B 跟住落嚟嘅變化會係完全一樣咁滯，但實際嘅研究發現並唔係噉－研究表明，兩個經濟體有可能會隨時間變到完全唔一樣，例如 A 變成世界最大經濟體，同時 B 進入經濟衰退，最後 A 嘅 GDP 係 B 嘅 10 倍；混沌指嘅就係噉嘅現象－個系統嘅初始狀態唔同咗少少，跟住落嚟嘅變化規律都會唔同嗮，彷彿好似個系統係完全「混沌、無章可循」噉嘅樣。

用個數學化啲嘅例子：下圖係混沌理論當中嘅洛倫茲系統（Lorenz system）嘅電腦模擬結果：成個系統有幾個變數同參數，包括 ${\text{y}}$，幅圖打戙嗰條軸做 ${\text{y}}$，打橫嗰條軸做時間，設 ${\text{y}}_{0}$ 做「${\text{y}}$ 嘅初始數值」，唔同色嘅線表示喺唔同 ${\text{y}}_{0}$ 之下 ${\text{y}}$ 隨時間變化嘅規律。由幅圖睇得出，${\text{y}}_{0}$ 係噉咦變咗少少，就會令最後嘅 ${\text{y}}$ 變化規律唔同嗮（嗰幾條唔同色嘅線大約去到 $t=11$ 嗰陣分開）。

好似上述噉嘅例子展示咗臨界過渡（critical transition）嘅概念：臨界過渡係指「input 嘅值一旦過咗某一點，個複雜系統嘅狀態就變到完全唔同嗮」，即係例如 input 由 1 變成 1.001（一個認為係好細嘅變化），個系統嘅變數 $y$ 嘅數值就變咗 1,000,000 倍咁多。臨界過渡等嘅現象引起好多工作者嘅關注，例如醫療上嘅工作噉－已知人體係個複雜系統，由數量龐大嘅細胞同第啲嘢組成，假想家陣藥劑師研究緊一隻藥 X，想決定要俾幾多嘅 X（input）俾病人食，問題係如果人體對 X 呢隻藥有臨界過渡現象，就可能會出現「病人食 100 g 會好返，但食 100.001 g 就會死」（input 係噉咦變咗少少，狀態就唔同嗮）噉嘅情況，於是醫護人員決定啲藥嘅劑量嗰陣就要極之小心。

混沌理論（chaos theory）係一套應用數學理論，正正係旨在想分析混沌呢家嘢嘅數學特性，從而理解混沌嘅本質，同埋睇吓有冇方法幫手預測混沌系統嘅行為。

拉雜概念

洛倫茲吸引子係混沌理論裏面好出名嘅一個吸引子。

• 回輸（feedback）：對系統嘅研究當中，最根基嘅概念之一；如果一個系統會俾出啲 output，而啲 output 會變成第啲系統嘅 input（進而影響嗰啲系統），噉嗰啲 output 就算係一個回輸，例如喺對氣候變化嘅研究上，有人擔心會發生以下噉嘅事－開冷氣會引致溫室氣體多咗（人嘅 output），溫室氣體多咗會令大氣層困住更多嘅熱能（變成大氣層嘅 input），進而令地球更加熱（大氣層嘅 output），而熱又會令啲人更加想開冷氣（人嘅 input），最後愈演愈烈（回輸迴圈）；喺上述個例子裏面，「冷氣引致嘅溫室氣體」同埋「大氣層引致嘅溫度上升」就係回輸。複雜系統之所以難預測，好多時就係因為系統啲元件之間有好多唔同嘅回輸關係。
• 自我組織（self-organization）：指系統嘅組成元件有地區性（local；淨係同周圍嘅元件有直接互動）嘅互動，引致整體上出現一個特定嘅運作規律；舉個例說明，一個蜜蜂竇由大量嘅個體（一隻隻蜜蜂）組成；每隻蜜蜂都會按某啲法則行動，個體蜜蜂之間有地區性嘅互動（一隻蜜蜂會同佢周圍嘅蜜蜂互動，但好少可會有得同時同成個竇嘅蜜蜂互動），而呢啲眾多嘅活動最後令成個竇整體上曉作出「建立新竇（自我複製）」同埋「維持自己存在」等嘅行為－就彷彿好似個竇係一隻有智能嘅生物個體噉樣。睇埋群體智能。
• 吸引子（attractor）：簡化噉講，一個系統嘅吸引子係一個「嗰個系統傾向會進入」嘅狀態；精確啲講，家陣設 $t$ 做時間、$a$ 係個系統嘅初始狀態，而 $f(t,a)$ 做一個函數，個函數表示個系統以 $a$ 做初始狀態嘅話喺時間點 $t$ 嘅狀態；假想 $a$ 有好多個可能數值，响最基本上，一個吸引子－
  • 會係相空間（指包括個系統所有可能狀態嘅空間）嘅一個子集 $A$，
  • $a$ 咁多個可能數值當中，有「好多」個最後都會令個系統進入 $A$，或者都係大機率會令個系統進入 $A$ 。
• 可擴縮性（scalability）：如果話一個系統有高嘅可擴縮性，即係指個系統可以齋靠「俾多啲資源落去」就能夠應付到更多嘅工作；舉個具體例子，想像家陣有間企業（系統），佢哋要攞貨車將啲貨送到客嘅手上－
  • 想像一個理想化嘅世界，個系統完美可擴縮，就算啲客對貨嘅需求量突然升咗 n 倍，間企業都可以齋靠增加貨車嘅數量（俾多啲資源落去）就應付到嗮啲客嘅需求；
  • 喺現實（唔理想化）嘅世界，間企業要面對諸多限制（可擴縮性有上限），例如佢淨係得 m 咁多間貨倉可以用（而因為第啲企業都喺度爭貨倉用，間企業冇得話增加貨倉就增加到），如果啲客對貨嘅需求量突然升咗 n 倍，間企業就算增加貨車數量，都會因為「想入間貨倉攞貨嘅工人多得滯，工作效率反而跌咗」等嘅原因，搞到應付工作嘅能力冇相應噉提升。
• 可進化度（evolvability）：係指一個系統有幾能夠作出有適應性嘅進化，愈能夠做到呢樣嘢就愈算可進化度高；例如生物就有高嘅可進化度，噉係因為遺傳令生物可以有個體差異（相比之下，同一隻款嘅原子粒粒都係一樣嘅），所以「適應能力勁啲嘅個體，傳播自己嘅基因嗰陣比較成功」呢家嘢喺生物身上有可能發生，而且生物仲能夠透過突變等嘅機制，創造出有適應性嘅個體特性。可以睇埋進化論。
• 多穩態（multistability）：指個系統有多個穩定嘅均衡點，個系統可以喺呢啲均衡點之間變換，不過均衡點之間嗰啲狀態係唔穩定嘅；舉例說明，喺完形心理學上，多穩態嘅概念可以用下圖噉嘅方式想像－下圖幅影像可以睇成一個花樽，但又可以睇成兩塊人面互相對住；根據廿世紀嘅完形心理學，噉係因為一個睇緊幅圖嘅人腦有兩個均衡點－「將幅圖睇成花樽」同埋「將幅圖睇成兩塊人面互相對住」，而呢兩個均衡點之間嘅狀態係唔穩定嘅，所以個腦傾向一進入呢啲唔穩定嘅狀態，就即刻變換返去是但一個均衡點度；除此之外，個腦唔可以同時處於兩個均衡點，所以受試者會發覺自己冇得「同時將幅圖睇成花樽又睇成兩塊人面」。

好似呢幅圖噉嘅視覺現象成日俾人攞嚟做多穩態嘅例子。

• 集體智能（collective intelligence，CI）：指由個體之間嘅集體協作同競爭而創發出嚟嘅類似有智能行為，透過共識決策展現；舉例說明，想像一間企業，企業入面嘅員工成日會協作做嘢，途中會學習，但又會（例如）爭上位，又會有機會（例如）投票同間企業做決策，令到間企業彷彿好似曉接收外界資訊同做決策（有智能噉嘅行為）噉。集體智能吸引咗唔少社會學同管理學工作者嘅思考，仲有人嘗試將集體智能嘅概念應用落去某啲細菌同動物身上。
• 無形之手（invisible hand）：由經濟學之父亞當史密夫（Adam Smith）提出嘅一個概念；個體人類正路會係為咗自己利益而作出決策，但佢哋嘅自私行為好多時會無意中引致一啲對社會整體嚟講有利嘅效果，就彷彿好似佢哋俾隻無形嘅手帶引緊噉樣，例如一個生意人為咗想自己賺錢而創業搞生意，搞得成功，佢自己賺到錢（佢自己著數）之餘又為自己身處嗰座城市創造工作職位（其他人都跟住有著數）；對經濟政策嘅爭詏好多時就係圍繞住「無形之手有幾勁」－覺得無形之手唔夠勁嘅人，往往會覺得政府有必要介入經濟事務，所以會支持政府出手干預市場。

... 呀噉。

睇埋

• 碎形
• 模控學
• 奧坎剃刀
• 調節效應
• 自然規律
• 生命
• 生物分層
• 智能
• 認知模型
• 等級制度
• 有限理性
• 混合實境
• 不充分決定論
• 多智能體系統
• 開放世界
• 生成藝術

文獻

• L.A.N. Amaral and J.M. Ottino, Complex networks - augmenting the framework for the study of complex system, (2004).
• Chu, D.; Strand, R.; Fjelland, R. (2003). "Theories of complexity". Complexity. 8 (3): 19-30.
• Gell-Mann, Murray (1995). "Let's Call It Plectics". Complexity. 1 (5): 3-5.
• A. Gogolin, A. Nersesyan and A. Tsvelik, Theory of strongly correlated systems, Cambridge University Press, 1999.
• Nigel Goldenfeld and Leo P. Kadanoff, Simple Lessons from Complexity, 1999
• Kelly, K. (1995). Out of Control, Perseus Books Group.
• Donald Snooks, Graeme (2008). "A general theory of complex living systems: Exploring the demand side of dynamics". Complexity. 13 (6): 12-20.
• Stefan Thurner, Peter Klimek, Rudolf Hanel: Introduction to the Theory of Complex Systems, Oxford University Press, 2018.
• Vemuri, V. (1978). Modeling of Complex Systems: An Introduction. New York: Academic Press，對複雜系統嘅研究當中最早期嘅入門書之一。

拎

• Complexity Explained.
• Complex systems Scholarpedia.
• Complex System Society.