函數組合嘅連續性

出自維基百科,自由嘅百科全書
跳去: 定向搵嘢

函數組合嘅連續性(Combination of Continuous Function)係連續函數中嘅一個概念。佢係講緊兩個函數組合之後嘅連續性。呢套概念想解答嘅問題係:兩個連續函數組合之後重係唔係連續。

組合就包括函數嘅處理方法,即係

點連續計算法[編輯]

假設都係函數,係一點實數。

假設入面嘅一點,咁呢點度都係連續嘅。以下嘅都會係啱嘅:

  • 都會喺呢點度連續。
  • 再假設呢點度係連續嘅,同埋,咁都係喺呢點度連續。

證明[編輯]

根據假設得知,同埋

咁利用函數極限嘅計算法則得知,

,咁利用上面

呢點度係連續嘅,同埋,咁利用函數極限嘅計算法則得知,

因為連續函數嘅定義係,如果,咁就係喺呢點度連續。

所以以上各式成立。

集上連續計算法[編輯]

由點連續計算法可以推出,集上連續嘅計算法。

定理[編輯]

都係喺上面連續係一點實數。以下都會係啱嘅:

  • 都會喺集上面連續。
  • 再假設喺集上面連續嘅,同埋,咁都會喺集上面連續。

例子[編輯]

  • 多項式函數係一個喺上面連續嘅函數。
  • 有理函數:設係兩個多項式函數,而且喺集上面連續。只要將除去,即係嘅根,咁,得出有理函數喺所有點入面,除咗以上講嗰啲點之外,都係連續嘅。
  • 因為,同都係喺連續嘅,所以可以得知都係喺某一堆點連續嘅。

絕對同開方連續函數[編輯]

絕對連續函數[編輯]

。定義。咁以下兩條一定成立:

  • 如果呢點連續,咁都會喺呢點連續。
  • 如果喺集上面連續,咁都會喺集上面連續。

開方連續函數[編輯]

假設符合。定義。咁以下兩條一定成立:

  • 如果呢點連續,咁都會喺呢點連續。
  • 如果喺集上面連續,咁都會喺集上面連續。

以上兩條都係可以由數列要求,推到函數極限,再引出以上兩個結果。

組合函數嘅連續性[編輯]

喺連續性入面,係可以討論埋組合函數呢一個函數運算嘅方法。以下嘅定理會證明出呢點度連續,同埋呢點度連續,會引伸出呢點度係連續。當然會係定義到,同埋

定理一[編輯]

假設同埋,符合

如果呢點到連續,同埋呢點度連續,咁呢點度係連續。

證明:

假設-鄰區。

咁因為度係連續,所以就會有一個-鄰區叫,使到如果,咁

同時,因為度係連續,所以就會有一個-鄰區叫,使到如果,咁

因為,所以如果,咁

因此,

因為係任意一個鄰區,咁就係喺呢點上面連續。

定理二[編輯]

假設同埋,符合

如果喺集上面度連續,同埋喺集上面度連續,咁呢點度係連續。

睇埋[編輯]