函數組合嘅連續性(Combination of Continuous Function)係連續函數中嘅一個概念。佢係講緊兩個函數組合之後嘅連續性。呢套概念想解答嘅問題係:兩個連續函數組合之後重係唔係連續。
組合就包括函數嘅處理方法,即係
。
假設
,
同
都係函數,
係一點實數。
假設
係
入面嘅一點,咁
同
喺
呢點度都係連續嘅。以下嘅都會係啱嘅:
都會喺
呢點度連續。
- 再假設
喺
呢點度係連續嘅,同埋
,咁
都係喺
呢點度連續。
根據假設得知,
同埋
。
咁利用函數極限嘅計算法則得知,



設
,咁利用上面
。
設
喺
呢點度係連續嘅,同埋
,咁利用函數極限嘅計算法則得知,
。
因為連續函數嘅定義係,如果
,咁
就係喺
呢點度連續。
所以以上各式成立。
由點連續計算法可以推出,集上連續嘅計算法。
設
,
同
都係喺集
上面連續,
係一點實數。以下都會係啱嘅:
都會喺集
上面連續。
- 再假設
喺集
上面連續嘅,同埋
,咁
都會喺集
上面連續。
- 多項式函數:
係一個喺
上面連續嘅函數。
- 有理函數:設
係兩個多項式函數,而且喺集
上面連續。只要將
嘅根除去,即係
,
係
嘅根,咁
,得出有理函數
喺所有
點入面,除咗以上講嗰啲點之外,都係連續嘅。
- 因為
,同
都係喺
連續嘅,所以可以得知
都係喺某一堆點連續嘅。
設
,
。定義
為
。咁以下兩條一定成立:
- 如果
喺
呢點連續,咁
都會喺
呢點連續。
- 如果
喺集
上面連續,咁
都會喺集
上面連續。
假設
,
,
符合
。定義
為
。咁以下兩條一定成立:
- 如果
喺
呢點連續,咁
都會喺
呢點連續。
- 如果
喺集
上面連續,咁
都會喺集
上面連續。
以上兩條都係可以由數列要求,推到函數極限,再引出以上兩個結果。
喺連續性入面,係可以討論埋組合函數呢一個函數運算嘅方法。以下嘅定理會證明出
喺
呢點度連續,同埋
喺
呢點度連續,會引伸出
喺
呢點度係連續。當然
會係定義到,同埋
。
假設
,
同埋
,符合
。
如果
喺
呢點到連續,同埋
喺
呢點度連續,咁
喺
呢點度係連續。
證明:
假設
係
嘅
-鄰區。
咁因為
喺
度係連續,所以就會有一個
嘅
-鄰區叫
,使到如果
,咁
。
同時,因為
喺
度係連續,所以就會有一個
嘅
-鄰區叫
,使到如果
,咁
。
因為
,所以如果
,咁
。
因此,
。
因為
係任意一個鄰區,咁
就係喺
呢點上面連續。
假設
,
同埋
,符合
。
如果
喺集
上面度連續,同埋
喺集
上面度連續,咁
喺
呢點度係連續。