間上連續函數

間上連續函數（Continuous Function on Intervals）係數學分析入面嘅基礎。屬於連續函數嘅性質，而主要討論嘅係一個間距上面嘅函數嘅連續性。

綁定性

一個函數$f$係叫做喺$A$上面被綁定（Bounded on $A$）即係符合以下條件：

有一個常數$M>0$，使到所有嘅$\forall x\in A$符合$|f(x)|\leq M$。

綁定性喺數列極限、函數極限都出現過。

如果有一點$x_{M}$係使到$|f(x_{M})|>M$，咁樣$f$喺$A$上面係未被綁定（unbounded on $A$）。

間上綁定定理

假設$I:=[a,b]$係一個關閉而綁定嘅間距，$f$喺$I$上面係連續嘅。咁$f$就會喺$I$上面被綁定。

證明：

假設$f$係$I$上面係唔被綁定。即係畀任何一個$n\in \mathbb {N}$，咁就一定會有一個$x_{n}\in I$符合$|f(x_{n})|>n$。

因為$I$係被綁定，所以數列$X:=(x_{n})$都會係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理，得知會有一個$X$嘅子數列$(x_{n_{k}})$係趨向一點$x$。

因為$I$係關閉而綁定，而$(x_{n_{k}})$又係喺$I$入面，所以$x\in I$。

因為$f$係喺$I$上面連續，所以$f$都係喺$x$點上面連續，即係話$f(x_{n_{k}})$係趨向$f(x)$。（利用連續數列要求）

因為數列$f(x_{n_{k}})$係趨向一點，所以$f(x_{n_{k}})$係被綁定，但係假設咗$|f(x_{n_{k}})|>n_{k}\geq r,r\in \mathbb {N}$。（矛盾）

間上綁定定理需要嘅條件係有三個：「關閉間距、綁定間距、間上連續」。三者缺一不可。

如果間距係無被綁定，咁$f(x):=x,\forall x$喺$A:=[0,\infty )$呢個間上面係連續，但唔係被綁定。

如果間距係無關起，咁$f(x):=\displaystyle {\frac {1}{x}}$喺$A:=(0,1]$呢個間上面係連續，但係唔係被綁定。

考慮$f(x):={\begin{cases}{\frac {1}{x}}\quad {\text{for }}x\in (0,1]\\1\quad {\text{for }}x=0\end{cases}}$係$A:=[0,1]$呢個間距，咁佢係唔連續，同時佢都會引到佢喺$C$度都係唔被綁定。

睇埋

• 極限
• 連續函數
• 函數組合嘅連續性
• 函數最高點與最低點
• 保西奴中間點定理
• 統一連續