函數最高點同最低點

函數最高點與最低點（maxima and minima）分別係指函數入面數值最高同埋最低嘅一點。喺數學分析入面，主要討論嘅係間上連續函數嘅最高點同最低點。

最高點同最低點

假設$A\subseteq \mathbb {R}$，同埋$f:A\to \mathbb {R}$。

最高點

如果$f$喺$A$度有最高點（has an absolute maximum on $A$），即係話$A$度有一點$x^{\star }\in A$，對應所有嘅$A$符合$f(x^{\star })\geq f(x),\forall x\in A$。

噉就叫$x^{\star }$做「$f$喺$A$嘅最高點」（absolute maximum point for $f$ on $A$）。

最低點

如果$f$喺$A$度有最低點（has an absolute minimum on $A$），即係話$A$度有一點$x_{\star }\in A$，對應所有嘅$A$符合$f(x_{\star })\leq f(x),\forall x\in A$。

噉就叫$x_{\star }$做「$f$係$A$嘅最低點」（absolute minimum point for $f$ on $A$）。

最高點最低點定理

假設$I:=[a,b]$係一個關閉又被綁定嘅間距，$f:A\to \mathbb {R}$喺$I$上面係連續嘅。咁$f$就會有喺$I$到一點最高點同最低點。

證明：

考慮非空集$S:=\{f(x):x\in I\}$係函數$f$嘅所有數值。

利用間上綁定定理，得知$S\subseteq \mathbb {R}$。

設$s^{\star }:=\sup S$，$s_{\star }:=\inf S$。（想證明有兩點$x^{\star },x_{\star }$符合$s^{\star }=f(x^{\star })$，$s_{\star }=f(x_{\star })$）

證明$s^{\star }=f(x^{\star })$

因為$s^{\star }:=\sup S$，如果有一個$n\in \mathbb {N}$，咁$s^{\star }-{\frac {1}{n}}$就唔係一個上限界。

咁即係就會有一個$x_{n}\in I$符合$s^{\star }-{\frac {1}{n}}<f(x_{n})\leq s^{\star },\forall n\in \mathbb {N}$。

因為$I$係被綁定，咁數列$X:=(x_{n})$都係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理，得知有子數列$(x_{n_{k}})$係趨向一點$x^{\star }$。

因為$(x_{n_{k}})$係喺$I$入面，所以$x^{\star }\in I$都會係喺$I$入面。

因為$f$係喺$x^{\star }$呢點度連續，所以$f(x_{n_{k}})$會趨向$f(x^{\star })$。

因為$(x_{n_{k}})$係$(x_{n})$嘅子數列，所以$s^{\star }-{\frac {1}{n_{k}}}<f(x_{n_{k}})\leq s^{\star }$成立。

因為$\lim _{n}s^{\star }-{\frac {1}{n_{k}}}=s^{\star }-0=s^{\star }$，$\lim _{n}f(x_{n_{k}})=f(x^{\star })$，$\lim _{n}s^{\star }=s^{\star }$，利用夾縫定理得知$s^{\star }<f(x^{\star })\leq s^{\star }$，即係$f(x^{\star })=s^{\star }$。

證明$s_{\star }=f(x_{\star })$

因為$s_{\star }:=\inf S$，如果有一個$n\in \mathbb {N}$，咁$s^{\star }+{\frac {1}{n}}$就唔係一個下限界。

咁即係就會有一個$x_{n}\in I$符合$s^{\star }+{\frac {1}{n}}>f(x_{n})\geq s^{\star },\forall n\in \mathbb {N}$。

因為$I$係被綁定，咁數列$X:=(x_{n})$都係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理，得知有子數列$(x_{n_{k}})$係趨向一點$x_{\star }$。

因為$(x_{n_{k}})$係喺$I$入面，所以$x_{\star }\in I$都會係喺$I$入面。

因為$f$係喺$x_{\star }$呢點度連續，所以$f(x_{n_{k}})$會趨向$f(x_{\star })$。

因為$(x_{n_{k}})$係$(x_{n})$嘅子數列，所以$s^{\star }+{\frac {1}{n_{k}}}>f(x_{n_{k}})\geq s_{\star }$成立。

因為$\lim _{n}s^{\star }+{\frac {1}{n_{k}}}=s^{\star }+0=s^{\star }$，$\lim _{n}f(x_{n_{k}})=f(x^{\star })$，$\lim _{n}s^{\star }=s^{\star }$，利用夾縫定理得知$s^{\star }>f(x^{\star })\geq s^{\star }$，即係$f(x_{\star })=s_{\star }$。

睇埋

• 極限
• 連續函數
• 函數組合嘅連續性
• 間上連續函數
• 保西奴中間點定理
• 統一連續