餘數定理

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餘數定理(Division Theorem or Division Algorithm)係數論上面一條基本而重要嘅定理。喺證明好多數論問題都會用到佢。

餘數定理係講兩個數,一個除另一個嘅時候,會有一個商同一個餘數。呢個定理係喺唔同嘅域都有對應嘅版本,最常見嘅有多整數同多項式嘅版本。

概念[編輯]

餘數定理係一條常用嘅理論,一做除法就會用到。

舉個例,將13粒提子分畀5個人,每個人就會有2粒,餘3粒。呢個已經係用咗餘數定理嘅概念,用數學式去寫就係

換一個寫法就係
13係被除數,5係除數,2係,3係餘數

定理[編輯]

整數版本[編輯]

假設任何兩個整數 a、b,。對應呢兩個數,一定會有另外兩個數叫 q 同 r,,通常會叫 q 做(quotient),r 做餘數(remainder)。

而以上四個數字會得出以下關係:

而r會符合 呢個條件,同埋對應 a、b 嘅 r、q 係只得一個。

多項式版本[編輯]

一般嚟講,呢個多項式喺係Q[x]入面,Q係指所有有理數,即係所有嘅分數。想知更多可以去睇多項式

假設任何兩個多項式 f(x) 同 g(x),一定會有另外兩個多項式叫 q(x) 同 r(x),佢哋有以下關係:

而 r(x) 會符合 呢個條件。

證明[編輯]

首先證明 q 同 r 係存在:假設 a 係大過。我哋考慮以下呢個 (Set)。

咁其實上面呢個集係集合咗,所有a減走b嘅倍數嘅正整數。即係呢個集係

因為 ,將呢個集入數值最細嗰粒元素叫做 r,咁

再假設,如果 ,將 代入去。結果,。由於 係最細個粒,所以 嘅情況係唔可能出現。因此,

之後,證明獨特性,呢個證明需要用到可除性嘅概念。

假設有兩個唔同嘅 q 同 r,佢哋兩個符合餘數定理,即係 ,同埋

因為佢哋都係兩條式都係等於a,所以可以寫成:

下一步,

根據可除性,b 係可以整除 。由於兩個 r 都細過 b,所以 都係細過 b。

根據上面兩個事實,b 只可以整除 b 嘅倍數,而 b又可以整除到 ,而 係大過等於零同細過 b。可以得出 呢個事實。

因此兩個r係一樣。再根據呢個事實,就可以得知兩個 q 都係一樣。

上面證明任何兩個整數相除,佢哋對應嘅商同餘數都係獨一無二。

推理[編輯]

香港中學教嘅餘數定理(Remainder Theorem)同因式定理(Factor Theorem)都係餘數定理嘅推論(Corollary)。

中學版餘數定理[編輯]

假設係一個多項式,咁嘅數值就會等於嘅餘數。

證明[編輯]

假設將

根據餘數定理,得出

將a代入x,得到,再推一步,

因為就係嘅餘數。

例一[編輯]

問題:搵嘅餘數。

步驟:假設

而家想整走入面,呢個項。所以將

後,得知將代入

所以嘅餘數係11。

因式定理[編輯]

如果係多項式嘅因數,咁一定係

證明[編輯]

假設。利用多項式版本嘅餘數定理,得到

將a代入x,得到,再推一步,

因為嘅一個因數,所以兩個除完係無餘數。因此

總括而言,

因式定理可以用嚟測定(x-a)係唔係一個因數,同埋可以用嚟幫手進行因式分解。

應用[編輯]

餘數定理重有好多唔同嘅應用。佢可以用嚟證明輾轉相除法,從而可以搵到最大公因數

而佢都可以證明出以下幾個喺數論入面有用嘅定理。

  • 所有嘅單數,都一定係,對應有啲整數或者呢兩個樣之一。
  • 任何一個整數嘅平方,都一定係,對應有啲整數或者呢兩個樣之一。
  • 任何一個單數嘅平方,都一定係,對應有啲整數呢個樣。
  • 任何一個單數嘅三次方,都一定係,對應有啲整數或者呢幾個樣之一。

睇埋[編輯]