無窮分數

無窮分數（Continued fraction），又叫連分數，係一類好特別嘅分數。佢喺數論同數學分析呢兩個數學分支入面都有好重要嘅角色。

一個無窮分數個樣係咁嘅

$$a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}}$$

但係因為呢個樣太麻煩，所以一般會將佢轉成$[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ]$嚟表達。

佢喺數學上可以做出好正嘅近似值。例如黃金比例${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$，正正就係無窮分數

$${\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\cdots }}}}}}}}$$

而$[1;2]$就係

$$1+{\frac {1}{2}}={\frac {2}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}$$

用無窮分數嚟表達$\pi$，就可以寫成

$\pi$ ≈ $[3;7,15,1,292]=3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1+{\frac {1}{292}}}}}}}}={\frac {103993}{33102}}=3.1415926530119026407\cdots$

有限無窮及簡單無窮

無窮分數可以再分出有限無窮（Finite Continued Fraction），之後可以再分出簡單無窮（Simple Continued Fraction）呢兩類。

有限無窮

一個有限嘅無窮分數係可以用有限咁多嘅數字表達出嚟。

即係

$$a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{\cdots +a_{n}}}}}}}$$

對應所有嘅$m\geq 1$，$a_{m}$都係實數同埋$a_{m}\geq 1$。

簡單無窮

簡單無窮就係$[a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}]$入面每一個$a_{i}$都係整數。

無窮分數轉換法

如果$x\in \mathbb {R}$，將$x$寫成$x=a_{0}+t_{0}$，$a_{0}\in \mathbb {Z}$同$0\leq t_{0}<1$。

一般會叫$a_{0}$做基層（Floor），有時會將$a_{0}$寫成$a_{0}=\llcorner x\lrcorner$。

如果$t_{0}\neq 0$，將$t_{0}$寫成${\frac {1}{t_{0}}}=a_{1}+t_{1}$，$a_{1}\in \mathbb {Z}$同$0\leq t_{1}<1$。

咁$t_{0}={\frac {1}{a_{1}+t_{1}}}$同埋$x=[a_{0},a_{1}+t_{1}]$。

將佢繼續咁寫落去得出：

如果$t_{i}\neq 0$，將$t_{0}$寫成${\frac {1}{t_{i}}}=a_{i+1}+t_{i+1}$，$a_{i+1}\in \mathbb {Z}$同$0\leq t_{i+1}<1$。

咁$t_{i}={\frac {1}{a_{i+1}+t_{i+1}}}$同埋$x=[a_{0},a_{1},\cdots ,a_{i},a_{i+1}+t_{i+1}]$。

例子：${\frac {5}{3}}$

1. ${\frac {5}{3}}={\frac {3+2}{3}}=1+{\frac {2}{3}}$
2. ${\frac {1}{\frac {2}{3}}}={\frac {3}{2}}={\frac {2+1}{2}}=1+{\frac {1}{2}}$
3. ${\frac {1}{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{1}}=2$

所以${\frac {5}{3}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}}}=[1,1,2]$

睇埋

• 局部趨向
• 局部趨向數列
• 無窮分數趨向性
• $e$嘅無窮分數
• 循環無窮分數
• 兩個平方之和
• 輾轉相除法