兩個平方之和

兩個平方之和（Sum of Two Squares）係數論入面一個問題。佢最主要想討論嘅係以下呢一條定理：

「一個正整數$n\in \mathbb {Z} ^{+}$係兩個平方之和，若且唯若所有$n$嘅質數因子$p|n$，符合$p\equiv 3{\bmod {4}}$喺質數分解後都會有雙數次方，即係$p^{i}$，$i$要係雙數。」

例子：$98=2\times 7^{2}$。咁滿足$p\equiv 3{\bmod {4}}$嘅只有$7$，而$7$係$98$嘅質數分解入面係$7^{2}$，即係雙數次方，所以$98$係可以寫成兩個平方之和：$98=49+49$

除咗以上呢條定理，重有另一條定理係由數學家科馬（Fermat）所證明嘅科馬兩個平方之和。

原始表達

定義

如果$n=x^{2}+y^{2}$係叫做原始（Primitive），即係話$\gcd(x,y)=1$。

推論一

如果$n$可以被$p\equiv 3\mod 4$整除，咁$n$就無原始表達。

證明：

假設$n$有原始表達，$n=x^{2}+y^{2}$。

將$n$質數分解，之間就會有一個質數$p|x^{2}+y^{2}$。

同埋$n$係原始表達，所以$\gcd(x,y)=1$。

所以，$p\not |x$同埋$p\not |y$。

因為$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$係一個域，所以可以喺$x^{2}+y^{2}\equiv 0\mod p$入面除$y^{2}$。

得出${\bigl (}{\frac {x}{y}}{\bigr )}^{2}=-1\mod p$。

所以尼真打表示${\bigl (}{\frac {-1}{p}}{\bigr )}$就會係$+1$。

因為歐拉要求，${\bigl (}{\frac {-1}{p}}{\bigr )}=(-1)^{\frac {(p-1)}{2}}$。

所以${\bigl (}{\frac {-1}{p}}{\bigr )}=1\iff {\frac {(p-1)}{2}}$係雙數，即係$p\equiv 1\mod 4$。

推論二

如果$x\in \mathbb {R}$同埋$n\in \mathbb {N}$，咁就會有一個分數${\frac {a}{b}}$（已經約咗簡）符合$0<b\leq n$同埋${\bigl |}x-{\frac {a}{b}}{\bigr |}\leq {\frac {1}{b(n+1)}}$。

睇埋

• 無窮分數
• 局部趨向
• 局部趨向數列
• $e$嘅無窮分數
• 循環無窮分數
• 科馬兩個平方之和